Variáveis Aleatórias
O que é uma variável aleatória (v.a.) ?
Uma variável aleatória é nada mais que uma função que mapeia os resultados de um processo estocástico (aleatório) em valores numéricos.
Imagine um experimento aleatório simples como lançar uma moeda, os possíveis resultados podem ser \(\Omega = \{cara, coroa\}\), o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado do espaço amostral \((\Omega)\). Agora imagine uma função qualquer que transformem os resultados em um valor numérico, como por exemplo, número de coroas, note que deste experimento podem ter dois resultados, cara ou coroa, sendo o número de coroas, 0 ou 1.
Assim \(X\) é a variável aleatória que traduz todos os resultados do experimento aleatório em números \(x\).
A notação usual é, a letra maiúscula \(X\) representa a variável aleatória, e \(x\) representa o valor numérico.
Mais facilmente podemos interpretar a v.a. como uma característica do elemento do espaço amostral, desta característica trasnformaremos as observações em valores núméricos.
Vamos agora associar probabilidades \(P(X=x)\) aos valores da v.a., onde lê-se a probabilidade da variável aleatória \(X\) assumir o valor numérico \(x\).
No exemplo da figura acima podemos traduzir \(P(X=0)\) quando \(x=0\) como a probabilidade do número de coroas ser igual a \(0\) é… Que no caso de uma moeda perfeitamente equilibrado poderia ser \(1/2\). Assim, teríamos,
\[ \begin{aligned} P(X=0) &= 1/2\\ P(X=1) &= 1/2 \end{aligned} \]
Obviamente que a moeda poderia ser viesada, neste caso \(0\) e \(1\) teriam probabilidades diferentes.
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Variáveis Aleatórias: Classificação
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como discreta ou contínua.
Variável aleatória discreta - são aquelas que os resultados são frutos de contagem
Exemplo: Número de filhos, número de sucessos em \(n\) tentativas,…
Variável aleatória contínua - são aquelas que os resultados são frutos de mensuração
Exemplo: massa (kg) do objeto , altura (m) do indivíduo, idade, temperatura, diâmetro da peça, …
Variáveis Aleatórias Discretas
Vamos abordar variáveis aleatórias discretas utilizando um exemplo simples.
Seja \(X\) = “o número de caras em um lançamento de uma única moeda”
\[ X = \left\{\begin{matrix} 1,~ cara\\ 0,~ coroa \end{matrix}\right. \]
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(X\) é uma descrição das probabilidades associadas aos possíveis valores de \(X\). Para representar essas probabilidades utilizaremos a notação matemática abaixo.
\[ \begin{aligned} p_X(x) &= P(X=x)\\ p_X(x) &\geq 0\\ \sum{p_X(x)} &= 1\\ \end{aligned} \]
Onde \(p_X(x)\) representa de forma geral a **probabilidade de uma variável aleatória discreta \(X\) assumir o valor numérico \(x\). Como regra (axiomas), temos que a probabilidade pode assumir valores \(0\) ou maiores que \(0\) e que a soma de todas as probabilidades será sempre \(1\).
Assim temos que a \(p_X(x)\) é chamada de função massa de probabilidade.
Função Massa de Probabilidade PMF
\[ p_X(x) = P(X = x) \] Do exemplo, temos a seguinte PMF:
\[ p_X(x) = \left\{\begin{matrix} 0.5 , ~ x = 0\\ 0.5 , ~ x = 1 \end{matrix}\right. \]
equivalente a
\[ \begin{aligned} p_X(0) &= P(X = 0) = 0.5\\ p_X(1) &= P(X = 1) = 0.5 \end{aligned} \]
onde,
\[\sum{p_X(x)} = p_X(0) + p_X(1) = 0.5 + 0.5 = 1\]
Podemos representar essas probabilidades na forma de uma distribuição gráfica de probabilidades.
Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta
Valor Esperado de uma variável aleatória, é o que se espera de uma v.a. em média a longo prazo. O valor esperado também pode ser chamado muitas vezes de média ou expectância ou ainda de esperança matemática de uma v.a.
O valor esperado é uma outra função, ou seja, uma forma de calcular a média dos valores da v.a. ponderada pelas suas probabilidades. A notação para essa função é \(E[\cdot]\).
\[ E[X] = \mu = \sum_x{x\cdot p_X(x)} \]
Pode se ler essa expressão como a soma de todos os valores de \(x\) multiplicados pelas suas probabilidades \(p_X(x)\).
Do exemplo anterior temos,
\[ \begin{aligned} E[X] = \mu &= \sum_x{x\cdot p_X(x)}\\ E[X] = \mu &= 0\cdot p_X(0)+ 1\cdot p_X(1)\\ E[X] = \mu &= 0\cdot (0.5)+ 1\cdot (0.5)\\ E[X] = \mu &= 0.5 \end{aligned} \]
Podemos interpretar esse valor como o que se espera da v.a. \(X\) em média a longo prazo, ou seja o que se espera em média de uma longa sequência de valores \(0\) e \(1\), onde o \(0\) ocorre com probabilidade de \(0.5\) e o \(1\) ocorre com probabilidade de \(0.5\).
Isso seria equivalente a uma média de uma longa (infinita) sequência do tipo:
\(0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,...\)
Interpretação
– É o valor que se espera em média, obtido em uma grande quantidade de tentativas independentes de um experimento aleatório. Se espera em média o valor numérico \(0.5\) dessa sequência.
Propriedades do Valor Esperado
Existem várias propriedades interessantes dessa função chamada de valor esperado, dentre os resultados mais importantes dessa função temos o seguinte:
Sejam \(X\) e \(Y\) v.a.d e \(c\) uma constante:
\(E[c] = c\)
significa dizer que o valor esperado de uma constante é a própria constante
\(E[cX] = cE[X]\)
significa dizer que o valor esperado de uma constante vezes uma v.a. é igual a constante vezes o valor esperado da v.a.
\(E[X\pm Y] = E[X] \pm E[Y]\)
\(E[X\pm c] = E[X] \pm E[c] = E[X] \pm c\)
\(E[XY] = E[X]E[Y]\) se forem independentes
Tente interpretar o que as expressões acima representam.
Variância de uma Variável Aleatória Discreta
A Variância de uma v.a. é também uma função, podemos dizer que é também um valor esperado porém dos desvios quadráticos de uma v.a. De uma maneira geral podemos dizer que é o que se espera em média dos desvios (ao quadrado) dos valores de \(x\) em relação à sua média \(\mu\). A esse tipo de valor esperado se dá um nome, de variância, que mede o grau de dispersão dos valores da v.a. em torno de sua média. Quanto maior for esse valor, maior é o grau de dispersão dos dados.
\[ \begin{aligned} V(X) &= \sigma^2 = \sum_i{(x_i - \mu )^2 \cdot p_X(x_i)} \\ \\ V(X) &= \sigma^2 = E\big[(X - E[X])^2\big]\\ \\ V(X) &= \sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{aligned} \]
– É uma quantificação da variabilidade, dispersão dos valores da v.a em torno do seu valor esperado.
- É o valor esperado dos desvios quadráticos, ou seja, o que se espera a longo prazo dos desvios em relação à sua média.
Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Proof:
\[ \begin{aligned} V(X) &= \sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2\\ V(X) &= \sum_i{(x_i - \mu )^2 \cdot p_X(x_i)}\\ V(X) &= \sum_i{(x_i^2 - 2x_i\mu +\mu^2) \cdot p_X(x_i)}\\ V(X) &= \sum_i{(x_i^2)\cdot p_X(x_i)} - 2\mu\sum_i{(x_i)\cdot p_X(x_i)} +\mu^2 \cdot \sum_i{p_X(x_i)}\\ V(X) &= E[X^2] - 2\mu^2 +\mu^2 \cdot 1\\ V(X) &= E[X^2] - (\mu)^2\\ V(X) &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{aligned} \]
Propriedades da Variância
\(V[c] = 0\)
\(V[cX] = c^2V[X]\)
\(V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2COV(X,Y)\)
\(V[X - Y] = V[X] + V[Y] - 2COV(X,Y)\)
\(V[X + Y] = V[X] + V[Y]\)
\(V[X - Y] = V[X] + V[Y]\)
\(COV(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]\)
\(COV(X,Y) = COV(Y,X)\) simetria
\(COV(X,X) = V(X)\)
Propriedades da Variância
\[\begin{align*} V(X+Y)&= E[X+Y]^2 - (E[X+Y])^2 \\ V(X+Y)&= E[X^2 + 2XY + Y^2] - (E[X] + E[Y])^2\\ V(X+Y)&= E[X^2] + 2E[XY] + E[Y^2] - \{(E[X])^2 + 2E[X]E[Y] + (E[Y])^2 \}\\ V(X+Y)&= E[X^2] + 2E[XY] + E[Y^2] - (E[X])^2 - 2E[X]E[Y] - (E[Y])^2 \\ V(X+Y)&= \textcolor{red}{\{E[X^2] - (E[X])^2\} } + \textcolor{blue}{\{E[Y^2] - (E[Y])^2 \}}+\textcolor{purple}{2\{E[XY] - E[X] E[Y]\}}\\ V(X+Y)&= \textcolor{red}{V(X)}+\textcolor{blue}{V(Y)} + \textcolor{purple}{2COV(X,Y)} \end{align*}\]
\[\begin{align*} V(X-Y)&= E[X - Y]^2 - (E[X - Y])^2 \\ V(X-Y)&= E[X^2 - 2XY + Y^2] - (E[X] - E[Y])^2\\ V(X-Y)&= E[X^2] - 2E[XY] + E[Y^2] - \{(E[X])^2 - 2E[X]E[Y] + (E[Y])^2 \}\\ V(X-Y)&= E[X^2] - 2E[XY] + E[Y^2] - (E[X])^2 + 2E[X]E[Y] - (E[Y])^2 \\ V(X-Y)&= \textcolor{red}{\{E[X^2] - (E[X])^2\}} + \textcolor{blue}{\{E[Y^2] - (E[Y])^2\}} - \textcolor{purple}{2\{E[XY] - E[X] E[Y]\}}\\ V(X-Y)&= \textcolor{red}{V(X)}+\textcolor{blue}{V(Y)} - \textcolor{purple}{2COV(X,Y)} \end{align*}\]
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