Probabilidade associada a eventos

O calcúlo de probabilidades associada a eventos é dado a partir das regras de probabilidade oriundas dos axiomas de Kolmogorov. As regras fundamentais para o calculo de probabilidade de um ou mais eventos são dadas por:

  • Regra do complemento
  • Regra da adição
  • Regra da probabilidade condicional
  • Regra da multiplicação
  • Teorema da Bayes
  • Regras de contagem e interpretações de probabilidade (a priori e a posteriori)

Exemplos de exercícios de probabilidade com amostragem sem reposição

Exemplo - Probabilidade 1

Um silo de 50 itens fabricados contém 3 itens defeituosos. Uma amostra de seis itens é selecionada a partir dos 50 itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens.

  1. Qual é a probabilidade de uma amostra de tamanho 6 conter exatamente 2 itens defeituosos?

Ref: Montgomery

Solução

Podemos avaliar a solução desse problema utilizando técnicas de contagem, e a partir dai tomando a razão de quantas vezes o evento em questão pode acontecer no espaço amostral (todos os possíveis resultados).

  1. Qual é o tamanho do espaço amostral? Ou melhor de quantas formas podem ocorrer um amostra de tamanho 6 dessas 50 peças?

A ordem em que os itens que pertencem a amostra importa? Não, se sairem os itens 1,2,3,4,5 e 6, será contabilizado o mesmo que saírem os itens 5,6,4,2,3 e 1, e assim por diante.

Dessa forma podemos utilizar combinação de 6 itens dos 50 itens.

\[\left(\begin{array}{c}50\\6\end{array}\right) = 15890700\]

choose(50,6)
[1] 15890700
  1. Agora, de quantas formas dois itens defeituosos podem aparecer na amostra? Note que existem 3 itens defeituososo na população.

\[\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right) = 3\]

choose(3,2)
[1] 3
  1. Agora, de quantas formas quatro itens não defeituosos podem aparecer na amostra? Note que existem 47 itens não defeituososo na população.

\[\left(\begin{array}{c}47\\4\end{array}\right) = 178365\]

choose(47,4)
[1] 178365
  1. Aplicando a regra da multiplicação (regras de contagem), temos que o número de subconjuntos de tamanho seis que contém exatamente dois itens defeituosos é:

\[\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}47\\4\end{array}\right) = 535095\]

choose(3,2)*choose(47,4)
[1] 535095
  1. agora qual é a probabilidade de uma amostra de tamanho 6 conter exatamente 2 itens defeituosos? Isso é o número de vezes que isso pode ocorrer dentro do espaço amostral, dessa forma tempos que:

\[\mathbb{P}(evento)=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}47\\4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}50\\6\end{array}\right)} = 0.03367347\]

choose(3,2)*choose(47,4)/choose(50,6)
[1] 0.03367347

Exemplo - Probabilidade 2

Em uma planta química, 24 tanques de retenção são usados para armazenagem do produto final. Quatro tanques são selecionados ao acaso e sem reposição. Suponha que seis dos tanques contenham o material em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumidores.

  1. Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?
  2. Qual é a probabilidade de no mínimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?
  3. Em adição aos seis tanques com altos níveis de viscosidades, quatro tanques diferentes contêm material com altos níveis de impurezas. Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter material com altos níveis de impureza?

Ref: Montgomery

Solução

  1. ** Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade? **

\(\mathbb{P}\)(exatamente um tanque em seis contenha alta viscosidade)=

Como exatamente um tanque com alta viscosidade pode ocorrer em uma amostra de tamanho quatro?

Mais uma vez vamos quebrar o problema em partes:

  • Como esse um tanque dos seis tanques com alta viscosidade podem aparecer em uma amostra ?

\[\left(\begin{array}{c}6\\1\end{array}\right) = 6\]

choose(6,1)
[1] 6
  • Como esses três tanques dos dezoito tanques dentro dos requerimentos podem aparecer em uma amostra ?

\[\left(\begin{array}{c}18\\3\end{array}\right) = 816\]

choose(18,3)
[1] 816
  • Espaço amostral: como quatro tanques dos vinte e quatro tanques podem aparecer em uma amostra ?

\[\left(\begin{array}{c}24\\4\end{array}\right) = 10626\]

choose(24,4)
[1] 10626
  • Assim temos que a probabilidade desse evento é:

\[\mathbb{P}(evento)=\frac{\left(\begin{array}{c}6\\1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}18\\3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\4\end{array}\right)} = 0.4607566\]

choose(6,1)*choose(18,3)/choose(24,4)
[1] 0.4607566
  1. Qual é a probabilidade de no mínimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?

Para resolver esse problema utilizamos o complemento do evento (no mínimo um tanque na amostra conter o material com alta viscosidade).

\[\mathbb{P}(evento)=1-\mathbb{P}(evento^c)\]

Mais uma vez vamos quebrar o problema em partes:

  • Como esse nenhum tanque dos seis tanques com alta viscosidade podem aparecer em uma amostra de tamanho quatro?

\[\left(\begin{array}{c}18\\4\end{array}\right) = 3060\]

choose(18,4)
[1] 3060

Dessa forma temos que a probabilidade desse complemento descontado da probabilidade do espaço amostral nos fornece a resposta:

\[\mathbb{P}(evento)=1 - \frac{\left(\begin{array}{c}18\\4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\4\end{array}\right)} = 0.7120271 \]

1 - choose(18,4)/choose(24,4)
[1] 0.7120271
  1. Em adição aos seis tanques com altos níveis de viscosidades, quatro tanques diferentes contêm material com altos níveis de impurezas. Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter material com altos níveis de impureza?

Podemos imaginar o seguinte, que na amostra de tamanho quatro, temos um elemento dos seis com alta viscosidade, um dos quatro com alto nível de impureza e outros dois dos quatorze tanques (sendo 14 = 24 - 6 - 4) dentro das especificações. Isso resulta em:

\[\left(\begin{array}{c}6\\1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}14\\2\end{array}\right)= 2184\]

choose(6,1)*choose(4,1)*choose(14,2)
[1] 2184

Dessa forma temos que a probabilidade desse evento é:

\[\mathbb{P}(evento)=\frac{\left(\begin{array}{c}6\\1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}14\\2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\4\end{array}\right)} = 0.2055336 \]

choose(6,1)*choose(4,1)*choose(14,2)/choose(24,4)
[1] 0.2055336

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