Da mesma forma que o exposto para as médias amostrais, a resultante para a variável aleatória proporção amostral é válida. Porém a v.a. \(\hat{P}\) é oriunda da soma de v.a. Bernoulli, ou seja soma de v.a.s \(X \sim Ber(p)\). Como resultado teremos uma distribuição normal, \(\hat{P} \sim N(p,p(1-p)/n)\)
Seja \(\hat{P}\) uma variável aleatória, \(\hat{P} \sim N(p,p(1-p)/n)\) e \(X \sim Ber(p)\).
\[ \begin{aligned} \hat{P} & = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}\\ \quad \\ E[\hat{P}] & = p \\ V(\hat{P}) & = \frac{p(1-p)}{n}\\ \end{aligned} \]Seja \(Z_n\) uma variável aleatória padronizada, \(Z_n \sim N(0,1)\).
\[ \begin{aligned} Z_n & = \frac{\hat{P}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\\ \quad\\ E[Z_n] & = 0\\ V(Z_n) & = 1\\ \end{aligned} \]Abaixo está disponível um applet em Java que simula o processo de tomada de amostras de tamanho \(n\) e a criação da distribuição amostral.
Está disponível a simulação da distribuição amostral das seguintes v.a.s:
Este applet java foi desenvolvido por David Lane (Rice University , University of Houston Clear Lake, and Tufts University), no projeto: Online Statistics Education: A Multimedia Course of Study (http://onlinestatbook.com/). Project Leader: David M. Lane, Rice University.