Distribuição das variâncias de uma amostra aleatória de tamanho \(n\)

A distribuição das variâncias amostrais de uma variável aleatória representa a população de todas as possíveis variâncias oriundas de uma amostra aleatória de tamanho \(n\) de uma população, cuja a variável aleatória possui uma distribuição de densidade de probabilidade (falaremos aqui de variáveis aleatórias cuja resposta é continua).

Cabe mais uma vez relembrar aqui ao tomarmos uma amostra de uma população estaremos observando elementos (\(\omega_i\)) de uma população (\(\Omega\)), e que desses elementos temos interesse em analisar certa característica ou propriedade que nada mais é do que uma variável, neste caso aleatória, pois depende aleatóriamente do elemento que foi selecionado para compor a amostra.

Antes de mais nada cabe elucidar alguns cálculos fundamentais e isso exige do conhecimento das propriedades do valor esperado e das definições de parâmetros e estatísticas.

Considere o seguinte, ao calcularmos os parâmetros populacionais, como por exemplo a média populacional (\(\mu\)) ou a variância populacional (\(\sigma^2\)) ou ainda outro parâmetro, devemos, obviamente utilizar todos os elementos da população, dessa forma se repetidamente efetuarmos esse processo sob as mesmas condições, teremos sempre o mesmo resultado, ou seja uma constante. Na estatística clássica os parâmetros populacionais são constantes, e são calculados com todos os elementos da população, os \(N\) elementos.

No caso da variância populacional (\(\sigma^2\)), calcularemos da seguinte forma

Variância populacional: uma constante

\[ \begin{aligned} \sigma^2_{X} & = \frac{\sum(X- \mu)^2}{N}\\ \end{aligned} \]

onde:

  • \(N\) é o tamanho da população
  • \(X\) é a variável aleatória
  • \(\mu\) é o parâmetro média populacional, ou seja o \(E[X] = \mu\)

Como se chega a essa equação, apresentada acima ?

Bom, quando calculamos a variância de todos os elementos de uma variável aleatória (ex. a variabilidade da altura da população), estamos calculando de fato é o valor esperado dos desvio quadráticos \(E[(X-\mu)^2]\), que nada mais é do que a média dos desvios quadráticos. Lembre-se que o valor esperado dos desvios quadráticos é (para uma v.a. discreta e contínua):

\[ \begin{aligned} V(X) = E[(X-\mu)^2] &= \sum{(x_i-\mu)^2}p_X(x)\\ V(X) = E[(X-\mu)^2] &= \int{(x-\mu)^2}f_X(x) \end{aligned} \] Lembre-se que a distribuição de uma v.a. representa o comportamento do todo, ou seja da população, ou seja de todos os \(N\) elementos. Assim, a \(V(X)\) é uma propriedade da v.a. de todos os \(N\) elementos.

Bom, uma vez que possuímos todos os elementos (ou seja os dados relativos a v.a.), podemos calcular diretamente essa propriedade, neste caso a \(\sigma^2\).

Agora, e se não tivessemos acesso a toda a população e sim somente uma amostra da mesma? Neste caso eu não tenho como calcular a variância populacional \(\sigma^2\), mas tenho como calcular a variância amostral, a pergunta é, como ?

Bom, sabemos agora que não vamos lidar com uma constante, e sim com uma variável aleatória, pois os valores agora dependem da amostra, que é aleatória, estaremos calculando aquilo que chamamos de estatística. Sendo assim, essa quantidade que iremos calcular é uma v.a. com alguma distribuição.

Mais uma vez estaremos fazendo uma estimativa do parâmetro populacional. A forma de calcularmos essa estatística (v.a., que chamaremos de \(S^2\)) de forma apropriada é de esperar que na média, essa estatística calculada seja igual ao valor do parâmetro populacional (a constante \(\sigma^2\)), ou seja, esperamos que \(E[S^2] = \sigma^2\).

A forma apropriada de esperarmos esse resultado é quando calculamos essa estatística da seguinte forma:

Variância amostral: uma variável aleatória

\[ \begin{aligned} S^2 & = \frac{\sum(X- \overline{X})^2}{n-1}\\ \end{aligned} \]

onde:

  • \(n\) é o tamanho da amostra aleatória
  • \(X\) é a variável aleatória
  • \(\overline{X}\) é a variável aleatória média amostral
  • \((n-1)\) é chamado de graus de liberdade

Cabe notar que não temos neste caso o valor do parâmetro média populacional \(\mu\), e sendo assim utilizamos a sua estimativa \(\overline{X}\).

Porque dividimos a equação por \((n-1)\) ao invés de simplesmente \(n\) ?

Bom para respondermos a essa questão observe os seguintes resultados. A prova desses resultados virá em seguida.

\[\begin{align} E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\mu})^2}{\color{blue}{n}}\Bigg] &= \sigma^2\\ E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\overline{X}})^2}{\color{blue}{n}}\Bigg] &= \Bigg(\color{blue}{\frac{n-1}{n}} \Bigg)\sigma^2\\ E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\overline{X}})^2}{\color{red}{n-1}}\Bigg] &= \sigma^2\\ \end{align}\]

Note que o valor esperado da equação (2) é um valor de variância viesado pelo termo \((n-1)/n\), e uma das soluções (matemática) para esse caso é dividir a equação por \((n-1)\) ao invés de simplesmente \(n\).

Prova

A seguir a prova da equação (1) \[ \begin{aligned} E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\mu})^2}{\color{blue}{n}}\Bigg] &= \sigma^2\\ \end{aligned} \]

Primeiramente considere \(X_1, ..., X_n\) variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuidas (i.i.d), com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\).

Por regra geral (estatística clássica), temos que \(\mu\) e \(\sigma^2\) são constantes.

Na prova faremos uso dos seguintes resultados auxiliares.

\[ \begin{aligned} E[X] &= \mu\\ E[X-\mu] &= 0\\ \\ V[X] &= \sigma^2\\ V[X] &= E[(X-\mu)^2]\\ V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ V[X] &= E[X^2] - \mu^2\\ \\ E[X^2] &= V[X] + \mu^2\\ E[X^2] &= \sigma^2 + \mu^2\\ \\ V\Big[\overline{X}\Big] &= \frac{\sigma^2}{n}\\ V\Big[\overline{X}\Big] &= E\Big[\overline{X}^2\Big] - \Big(E\Big[\overline{X}\Big]\Big)^2\\ V\Big[\overline{X}\Big] &= E\Big[\overline{X}^2\Big] - \mu^2\\ \\ E\Big[\overline{X}^2\Big] &= V\Big[\overline{X}\Big] + \mu^2\\ E\Big[\overline{X}^2\Big] &= \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\\ \end{aligned} \]

\(E[X-\mu] = 0\), pois é propriedade da média, de se colocar exatamente no “centro de gravidade” dos dados, onde o somatório dos desvios é zero

Iniciaremos a análise verificando o que se espera dos desvios quadráticos em torno da média populacional.

\[ \begin{aligned} E[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2] &= E[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2]\\ &= \sum_{i=1}^n E[(X_i-\mu)^2]\\ &= \sum_{i=1}^n E[X_i^2 -2X_i\mu+\mu^2]\\ &= \sum_{i=1}^n E[X_i^2] -2\mu \sum_{i=1}^nE[X_i] + \sum_{i=1}^nE[\mu^2]\\ \end{aligned} \]

Assim temos,

\[\sum_{i=1}^nE[\mu^2] = n \cdot \mu^2\]

\[\sum_{i=1}^n E[X_i] = n \cdot \mu\]

\[\sum_{i=1}^nE[X^2] = n \cdot (\sigma^2 + \mu^2)\] \[ \begin{align} E[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2] &= n(\sigma^2 + \mu^2) - 2 n \mu^2 + n \mu^2\\ &= n\sigma^2\\ \end{align} \] Portanto é de se esperar que \[ E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n}\Bigg] = \sigma^2 \]

Prova

A seguir a prova da equação (2) \[ \begin{aligned} E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\overline{X}})^2}{\color{blue}{n}}\Bigg] &= \Bigg(\frac{\color{blue}{n-1}}{\color{blue}{n}} \Bigg)\sigma^2\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} E\bigg[\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\bigg] &= E\bigg[\sum_{i=1}^nX_i^2 -2\overline{X}\sum_{i=1}^nX_i + \sum_{i=1}^n \overline{X}^2 \bigg] \\ &= E\bigg[\sum_{i=1}^nX_i^2 -2\overline{X}\sum_{i=1}^nX_i + n \cdot \overline{X}^2 \bigg] \end{aligned} \]

Mas como:
\[ \begin{aligned} \overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \Longrightarrow \sum_{i=1}^n X_i=n\cdot \overline{X} \end{aligned} \] Substituindo \(\sum_{i=1}^n X_i\) temos:

\[ \begin{aligned} E\bigg[\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\bigg] &= E\bigg[\sum_{i=1}^nX_i^2 -2n\overline{X}^2 + n\overline{X}^2 \bigg] \\ &= E\bigg[\sum_{i=1}^nX_i^2 -n\overline{X}^2 \bigg] \\ &= \sum_{i=1}^nE[X_i^2]-nE[\overline{X}^2]\\ &= n \cdot(\sigma^2+\mu^2)-n \cdot\bigg(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2\bigg)\\ &= n\sigma^2 + n\mu^2 -\sigma^2-n\mu^2 \\ &= n\sigma^2-\sigma^2\\ &=(n-1)\cdot \sigma^2 \end{aligned} \]

Portanto nos temos que: \[E\bigg[\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\bigg] = (n-1)\cdot \sigma^2\]

Logo: \[ \begin{aligned} E\bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2}{n}\bigg] = \frac{(n-1)}{n} \cdot \sigma^2 \end{aligned} \]

Prova

A seguir a prova da equação (3) \[ \begin{aligned} E\Bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\color{red}{\overline{X}})^2}{\color{blue}{n-1}}\Bigg] &= \sigma^2\\ \end{aligned} \]

Dada as provas anteriores note que:

\[ \begin{aligned} E\bigg[\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\bigg] &= (n-1)\cdot \sigma^2\\ \\ E\bigg[\frac{\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2}{n-1}\bigg] &= \sigma^2 \end{aligned} \]

De onde temos a fórmula para calcular a variância a partir de uma amostra:

Variância amostral \[ \begin{aligned} S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2}{n-1} \end{aligned} \]

Precisamos verificar como a variável aleatória \(S^2\) se distribui

Vamos assumir que a variável aleatória (\(X\)) possui distribuição normal, para que matemáticamente os resultados sejam convenientes, assim temos que:

Distribuição amostral da variância

Seja \(X\) uma variável aleatória, \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), a distribuição da variância amostral segue uma distribuição qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade \(S^2 \sim \chi^2_{n-1}\).

\[ \begin{aligned} S^2 & = \frac{\sum(X- \overline{X})^2}{n-1}\\ S^2 &\sim \chi^2_{n-1}\\ \\ E[S^2] & = \sigma^2 \\ V(S^2) & = \frac{2\sigma^4}{n-1}\\ \end{aligned} \]

Isso significa dizer que se a população do qual são retidas as amostras segue uma distribuição de probabilidade normal a variável aleatória \(S^2\) tenderá à uma distribuição qui-quadrado com média \(\sigma^2\) e desvio padrão \(2\sigma^4/{n-1}\).

O seguinte teorema auxilia a entender esses resultados

Teorema
  • Seja \(X_1, X_2, ..., X_n\) observações de uma amostra aleatória de tamanho \(n\) oriunda de uma distribuição normal \(X_i \sim N(\mu,\sigma^2)\).

  • \(\overline{X} = \frac{\sum{X_i}}{n}\) é a média amostral de \(n\) observações

  • \(S^2 = \frac{\sum(X- \overline{X})^2}{n-1}\) é a variância amostral de \(n\) observações

Então, temos que:

  • \(\overline{X}\) e \(S^2\) são independentes

  • \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum(X- \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}\)

Alguns resultados já conhecidos nos auxiliam nesta nova verificação, vamos à alguns deles:

\[ \begin{aligned} \color{blue}{X} &\sim N(\mu,\sigma^2)\\ \\ \color{orange}{Z} &= \frac{\color{blue}{X} - \mu}{\sigma}\\ \color{orange}{Z} &\sim N(0,1)\\ \\ \color{orange}{Z}^2 &= \Bigg(\frac{\color{blue}{X} - \mu}{\sigma}\Bigg)^2\\ \color{orange}{Z}^2 &\sim \chi^2_{(1)}\\ \\ Q &= \sum_{i=1}^{n}\color{orange}{Z}^2 = \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} - \mu}{\sigma}\Bigg)^2\\ Q &\sim \chi^2_{(n)}\\ \\ \end{aligned} \]

Re-arranjando a equação da variância amostral:

\[ \begin{aligned} S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2}{n-1}\\ (n-1)S^2 = \sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\\ \end{aligned} \]

Podemos simplesmente dividir essa equação por uma constante, neste caso \(\color{red}{\sigma^2}\), note que a forma da distribuição não irá se alterar, somente seus valores numéricos, convenientemente teríamos:

\[ \begin{aligned} \frac{(n-1)S^2}{\color{red}{\sigma^2}} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2}{\color{red}{\sigma^2}}\\ \\ \frac{(n-1)S^2}{\color{red}{\sigma^2}} = \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{X_i -\overline{X}}{\color{red}{\sigma}}\Bigg)^2\\\\ \end{aligned} \]

Vamos primeiramente tentar encontrar alguma relação com aquilo que já conhecemos como distribuição, como é o caso da distribuição de \(\color{orange}{Z}^2\).

\[ \begin{aligned} Q = \sum_{i=1}^{n}\color{orange}{Z}^2 &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} - \mu}{\sigma}\Bigg)^2\\ \end{aligned} \]

Um pequeno artifício matemático pode ser lançado aqui, observe que podemos somar \(0\) à equação \((-\overline{X} + \overline{X})\):

\[ \begin{aligned} Q = \sum_{i=1}^{n}\color{orange}{Z}^2 &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} - \mu}{\sigma}\Bigg)^2\\ Q &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} - \mu -\overline{X} + \overline{X}}{\sigma}\Bigg)^2\\ Q &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{(\color{blue}{X_i} -\overline{X}) + (\overline{X} - \mu)}{\sigma}\Bigg)^2\\ Q &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} -\overline{X}}{\sigma}\Bigg)^2 + \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma}\Bigg)^2 + 2\Bigg(\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma^2}\Bigg) \sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)\\ \end{aligned} \]

Uma vez que,

\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big) = n\overline{X} - n\overline{X} = 0\\ \end{aligned} \]

Dessa forma, \(Q\) se reduz a,

\[ \begin{aligned} Q &= \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\color{blue}{X_i} -\overline{X}}{\sigma}\Bigg)^2 + \sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma}\Bigg)^2\\ Q &= \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} + \frac{n(\overline{X}- \mu)^2}{\sigma^2}\\ \end{aligned} \]

A média amostral \(\overline{X}\) é uma variável aleatória que se distribui de forma normal, de acordo com o TLC (Teorema do Limite Central), e os resultados a seguir já são conhecidos.

\[ \begin{aligned} \overline{X} &\sim N(\mu,\sigma^2/n)\\ \\ Z &= \Bigg(\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}\Bigg)\\ \\ Z &= \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{\sigma}\\ \\ Z &\sim N(0,1)\\ \\ Z^2 &= \Bigg(\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}\Bigg)^2\\ \\ Z^2 &= \frac{n(\overline{X}- \mu)^2}{\sigma^2}\\ \\ Z^2 &\sim \chi^2_{(1)}\\ \end{aligned} \]

Aplicando o conhecimento das distribuições temos que:

\[\begin{aligned} \underbrace{Q}_{\sim \chi^2_{(n)}} &= \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} + \underbrace{\frac{n(\overline{X}- \mu)^2}{\sigma^2}}_{\sim \chi^2_{(1)}}\\ \\ \underbrace{\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2}}_{\sim \chi^2_{(n-1)}} &= \underbrace{Q}_{\sim \chi^2_{(n)}} - \underbrace{\frac{n(\overline{X}- \mu)^2}{\sigma^2}}_{\sim \chi^2_{(1)}}\\ \end{aligned}\]

Dessa forma, quando a amostra for oriunda de uma distribuição normal, a quantidade relacionada a variância amostral irá se distribuir do forma qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade,

\[ \begin{aligned} \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} &= \color{green}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} \sim \chi^2_{(n-1)}\\ \end{aligned} \]

library(ggplot2)

ggplot(data.frame(x = c(0, 30)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 1),aes(colour = "(n-1) = 1"), size = 1.5) +
  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 3),aes(colour = "(n-1) = 3"), size = 1.5) +
  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 8),aes(colour = "(n-1) = 8"), size = 1.5) +
  scale_x_continuous(name = expression(paste({chi^{2}}[(n-1)])),
                     breaks = seq(0, 30, 5),
                     limits=c(0, 30)) +
  scale_y_continuous(name = "Densidades") +
  ggtitle("Distribuições Qui-quadrado com diferentes graus de liberdade (n-1)") +
  scale_colour_brewer(palette="Accent") +
  labs(colour = "Groups") +
  theme_bw() +
  theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
        panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
        panel.grid.minor = element_blank(),
        panel.border = element_blank(), panel.background = element_blank(),
        plot.title = element_text(size = 14, family = "Tahoma", face = "bold"),
        text=element_text(family="Tahoma"),
        axis.text.x=element_text(colour="black", size = 9),
        axis.text.y=element_text(colour="black", size = 9),
        legend.position = "bottom")

Exemplo 1

Assuma que nota dos alunos na disciplina de estatística é normalmente distribuida com média \(\mu = 7.2\) e variância \(\sigma^2 = 1.6^2\).

Seja \(X_i\) a nota de alunos aleatoriamente selecionados, \(i = 1,...,8\) na disciplina.

Qual é a distribuição de \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)?

Solução: Exemplo 1

Devido ao tamanho da amostra ser de \(n=8\) elementos da população o Teorema acima nos informa que:

\[ \begin{aligned} \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} &= \color{green}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} &= \color{green}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} = \color{green}{\frac{(8-1)S^2}{1.6^2}} = = \color{green}{\frac{(7)S^2}{1.6^2}}\\ \end{aligned} \]

segue uma distribuição de qui-quadrado com \(gl = (n-1)=7\) graus de liberdade. Abaixo temos como a distribuição de densidades teórica se parece:

library(ggplot2)

ggplot(data.frame(x = c(0, 30)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 7),aes(colour = "(n-1) = 7"), size = 1.5) +
  scale_x_continuous(name = expression(paste({chi^{2}}[(7)])),
                     breaks = seq(0, 30, 5),
                     limits=c(0, 30)) +
  scale_y_continuous(name = "Densidades") +
  ggtitle("Distribuições Qui-quadrado com grau de liberdade (n-1 = 7)") +
  scale_colour_brewer(palette="Accent") +
  labs(colour = "Groups") +
  theme_bw() +
  theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
        panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
        panel.grid.minor = element_blank(),
        panel.border = element_blank(), panel.background = element_blank(),
        plot.title = element_text(size = 14, family = "Tahoma", face = "bold"),
        text=element_text(family="Tahoma"),
        axis.text.x=element_text(colour="black", size = 9),
        axis.text.y=element_text(colour="black", size = 9),
        legend.position = "none")

Mais uma vez, todo o trabalho que foi feito até agora sobre tem sido de natureza teórica. Isto é, o que aprendemos é baseado na teoria da probabilidade. Sendo assim neste caso veríamos esses resultado se obtivéssemos repetidas amostras de tamanho 8, digamos 1000 amostras de tamanho 8 e calculássemos a quantidade:

\[ \frac{(8-1)S^2}{1.6^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{1.6^2} \]

para cada amostra.

Ou seja, a distribuição dos 1000 valores resultantes da função acima deve se parecer com uma distribuição qui-quadrado (7)??

A única maneira de responder a essa pergunta é simular esses resultados.

Abaixo seguem alguns resultados de uma simulação (neste caso somente são apresentados as 6 primeiras amostras simuladas de tamanho 8), onde foram gerados 1000 amostras de tamanho \(n=8\) a partir de uma distribuição normal com média \(\mu = 100\) e variância \(\sigma^2 = 1.6^2\).

Na tabela abaixo é apresentado somente 6 das amostras de tamanho 8, como exemplo do conjunto resultante dessa simulação de 1000 amostras. Note que \(X1 ... X8\) são as variáveis aleatórias normais, \(n=8\) e a chamada quantidade é exatamente

\[ \frac{(8-1)S^2}{1.6^2} \] a quantidade calculada para cada amostra de tamanho 8.

md.pop = 7.2 #média populacional \mu
var.pop = 1.6^2 #variância populacional \sigma^2
dp.pop = 1.6 #desvio padrão populacional \sigma
n = 8


df = data.frame(matrix(rnorm(8000, mean = md.pop, sd = dp.pop), nrow = 1000))
df$"quantidade" = apply(df, 1, function(df) (n-1)*var(df)/var.pop)
kable(head(df))
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 quantidade
6.396492 8.956240 9.358181 7.080006 9.603621 7.883360 6.442272 4.614644 8.191341
7.410450 9.089658 6.832411 5.684667 6.762497 6.829758 7.241935 8.302194 2.950479
7.073733 8.140017 4.428024 7.200601 6.360233 7.846389 6.449531 6.089038 3.707594
8.618856 8.921876 6.196306 4.760068 6.993306 6.320126 5.371091 6.157524 5.827301
7.387154 9.018645 6.815188 7.357363 6.467231 6.090975 7.949740 6.639526 2.404877
7.709808 8.416468 5.059876 4.757428 7.642667 5.003896 8.028996 8.087191 6.926755

Por exemplo, note que para a primeira linha temos como média amostral \(\overline{x} = 7.124593\) e variância amostral \(s^2 = 0.8836964\).

\[ \begin{aligned} \frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\color{blue}{X_i} -\overline{X}\Big)^2}{\sigma^2} &= \color{green}{\frac{(8-1)S^2}{1.6^2} =} \color{green}{\frac{(7)0.8836964}{1.6^2} = 2.416357} \\ \end{aligned} \] Bom, agora que temos os valores dessa quantidade calculada para cada amostra podemos observar a sua distribuição empírica.

ggplot(df, aes(df$quantidade)) +
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 1) +
#  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 7), aes(colour = "Qui-quadrado_(n-1=7)"), size = 1.5) +
  scale_x_continuous(name = expression(paste(frac((7)*S^{2},1.6^{2}))),
                     breaks = seq(0, 30, 5),
                     limits=c(0, 30)) +
  scale_y_continuous(name = "Densidades") +
  ggtitle("Histograma da quantidade") +
  scale_colour_brewer(palette="Accent") +
  labs(colour = "Groups") +
  theme_bw() +
  theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
        panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
        panel.grid.minor = element_blank(),
        panel.border = element_blank(), panel.background = element_blank(),
        plot.title = element_text(size = 14, family = "Tahoma", face = "bold"),
        text=element_text(family="Tahoma"),
        axis.text.x=element_text(colour="black", size = 9),
        axis.text.y=element_text(colour="black", size = 9),
        legend.position = "none")

Se impusermos no gráfico uma curva das densidades de uma \(\chi^2_{7}\) com 7 graus de liberdade temos:

ggplot(df, aes(df$quantidade)) +
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth = 1) +
  stat_function(fun = dchisq, args = list(df = 7), aes(colour = "Qui-quadrado_(n-1=7)"), size = 1.5) +
  scale_x_continuous(name = expression(paste(frac((7)*S^{2},1.6^{2}))),
                     breaks = seq(0, 30, 5),
                     limits=c(0, 30)) +
  scale_y_continuous(name = "Densidades") +
  ggtitle("Histograma da quantidade") +
  scale_colour_brewer(palette="Accent") +
  labs(colour = "Groups") +
  theme_bw() +
  theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
        panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
        panel.grid.minor = element_blank(),
        panel.border = element_blank(), panel.background = element_blank(),
        plot.title = element_text(size = 14, family = "Tahoma", face = "bold"),
        text=element_text(family="Tahoma"),
        axis.text.x=element_text(colour="black", size = 9),
        axis.text.y=element_text(colour="black", size = 9),
        legend.position = "none")

Que é muito similar a distribuição da quantidade em questão, que é relacionada com a variância amostral.

Applet de simulação da distribuição amostral

Abaixo está disponível um applet em Java que simula o processo de tomada de amostras de tamanho \(n\) e a criação da distribuição amostral.

Está disponível a simulação da distribuição amostral das seguintes v.a.s:

  • Média
  • Mediana
  • sd - Desvio Padrão
  • Variância
  • Variância U (n-1)
  • Amplitude

Este applet java foi desenvolvido por David Lane (Rice University , University of Houston Clear Lake, and Tufts University), no projeto: Online Statistics Education: A Multimedia Course of Study (http://onlinestatbook.com/). Project Leader: David M. Lane, Rice University.



Distribuição Amostral
media =
24
mediana =
48
sd =
48

assimetria=
48

curtose=
48

Reps=
0
amplitude=
0
Reps=
0
media=
24
mediana=
48
sd=
48

assimetria=
48

Curtose=
48

Reps=
0
media=
24
mediana=
48
sd=
48

assimetria=
48

Curtose=
48