Esta importante distribuição é aplicada em casos de experimentos repetidos, onde existem dois possíveis resultados: cara ou coroa, sucesso ou fracasso, item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares. A probabilidade de cada resultado pode ser calculada utilizando a regra da multiplicação, talvez com o uso do diagrama de árvore, porém é muito mais simples e eficiente utilizar uma equação generalizada.

Assim, uma variável aleatória poderá ter sua distribuição de probabilidade modelada de forma binomial caso atenda os seguintes pressupostos:

Pressupostos
  • o resultado é completamente determinado por chance (aleatório);
  • existem somente dois possíveis resultados, experimento Bernoulli;
  • todas as tentativas possuem a mesma probabilidade para um resultado em particular. Ou seja, as tentativas ou realizações do experimento são independentes;
  • isso implica que, existe uma probabilidade \(p\) de sucesso constante em cada tentativa
  • o número de tentativas, \(n\), é um valor fixo, um número inteiro e positivo;
Variável Aleatória Generalizada
Seja \(X\) o número de sucessos em \(n\) tentativas independentes.
Exemplos

Dado um experimento aleatório \(e\), de acordo com a v.a.d. \(X\):

  • Seja \(X\) o número de caras em \(n\) tentativas independentes.
  • Seja \(X\) o número de itens defeituosos em \(n\) itens produzidos independentes.
  • Seja \(X\) o número de amostras contaminada em \(n\) amostras independentes.
  • Seja \(X\) o número de questões corretas em \(n\) questões respondidas independentes.
Note que a palavra sucessos e tentativas podem ser alteradas conforme o experimento aleatório \(e\) e, questão.

O modelo é dado pela seguinte função massa de probabilidade (PMF):

\[ p_X(x) = \mathbb{P}(X=x)=\left(\begin{array}{c}n\\x\end{array}\right) p^x(1-p)^{n-x} \]

onde,

\[ \left(\begin{array}{c}n\\x\end{array}\right)=\frac{n!}{x!(n-x)!} \] para \(x = 0,1,\ldots,n\):

Exemplo Binomial 1:

Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico estar em condições operacionais satisfatórias é de 0.98. Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de cinco componentes, quais são as probabilidades de se encontrarem,

    1. zero
    1. exatamente um
    1. exatamente dois
    1. dois ou mais
    1. ao menos quatro, itens defeituosos?
Resposta Exemplo B1:

Os requisitos para a aplicação do modelo binomial foram satisfeitos. \(n=5\), \(P(defeituoso) = 0.02\) Assumiremos como \(p=0.02\) a probabilidade de encontrarmos um item defeituoso. Aplicando o modelo probabilístico binomial para responder as questões temos:

n = 5
p = 0.02
x = seq(0,n,1)
p_x = dbinom(x,n,p)
plot(x,p_x,type='h',xlab='valores de x',ylab='p_X(x)')
points(x,p_x,col=2)

As probabilidades de cada um dos valores de \(x\) pode ser apresentadas:

setNames(p_x, x)
           0            1            2            3            4 
0.9039207968 0.0922368160 0.0037647680 0.0000768320 0.0000007840 
           5 
0.0000000032 
    1. zero
    1. exatamente um
    1. exatamente dois
    1. dois ou mais
    1. ao menos quatro, itens defeituosos?
a = p_x[1] # o primeiro elemento do vetor p_x, ou seja p_X(0)
b = p_x[2] # o segundo elemento do vetor p_x, ou seja p_X(1)
c = p_x[3] # o terceiro elemento do vetor p_x, ou seja p_X(2)
d = 1 - (p_x[1] + p_x[2]) # 1 - [p_X(0) + p_X(1)]
e = p_x[5] + p_x[6] # p_X(4) + p_X(5)

setNames(c(a,b,c,d,e), c('a','b','c','d','e'))
           a            b            c            d            e 
0.9039207968 0.0922368160 0.0037647680 0.0038423872 0.0000007872 

Licença Creative Commons 4.0

Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative Commons 4.0