Exercícios mencionados na aula de 30/03/2009.

Exemplo 1 - Uma fábrica produz recipientes de vidro. Existe uma probabilidade igual a 0,2 de produzir um recipiente defeituoso. Antes que esses recipientes sejam estocados, eles são inspecionados e os defeituosos são separados. Admita que exista uma probabilidade igual a 0,1 de que um recipiente defeituoso seja mal classificado. Sabe-se que se o recipiente não apresenta defeito ele com certeza será bem classificado. Considere que um inspetor de produção examinou 3 desses recipientes. Seja Y o número de recipientes classificados como defeituosos pelo inspetor.
a) Determine a distribuição de probabilidades de Y. (R.: 0,5514; 0,3631; 0,0797; 0,0058)
b) Calcule E(Y). (R.: 0,54)
c) Calcule V(Y). (R.: 0,4428)

Árvore de probabilidades



Expressões para cálculo:


Exemplo 2 - A duração anual de paradas devidas à acidentes de trabalho numa empresa A pode ser considerado como uma variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por:

            f (x) = 0                                              para x <30 e x > 90

         f (x) = x / 2400                                    para 30 ≤ x < 50

         f (x) = (x -30) / 2400                           para 50 ≤ x ≤ 90

Numa tentativa indireta de diminuir os acidentes de trabalho foram estabelecidas determinadas penalidades para as empresas. Desta forma a empresa que ultrapassar 60 horas paradas devidas à acidentes pagará 5000 u.m.; se as horas paradas estiverem entre 40 e 60 a multa será de 4000 u.m. e fora disso a empresa será punida apenas com advertência por escrito. Qual será o valor esperado da multa paga anualmente pela empresa A? (R.: 3979,14 u.m.)


 

Exemplo 3 - Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é de 4/5, de B resolver é de 2/3 e de C resolver é de 3/7. Seja X o número de soluções corretas apresentadas para este problema.

a) Construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228)

b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)



P(X = 3) = 0,22857
P(X = 2) = 0,30476 + 0,11429 + 0,05714 = 0,47619
P(X = 1) = 0,15238 + 0,07619 + 0,02857 = 0,25714
P(X = 0) = 0,03810

E(X) = 0 × 0,03810 + 1 × 0,25714 + 2 × 0,47619 + 3 × 0,22857 = 1,89
V(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 4,21903 - (1,89)2 = 0,63

Exemplo 4 - Em um dia de bastante movimento o tempo que um cliente espera para ser atendido no caixa de um supermercado pode ser considerado uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidades é dada por:

          f (x) = 0                                              para x < 4 e x > 14

          f (x) = 2/ 35                                        para 4 <=  x < 9

            f (x) = (28 - 2x)/ 35                              para 9 =<  x <= 14

Sendo x em minutos.

Suponha que um cliente esteja esperando para ser atendido há 7 minutos, determine a probabilidade de que seu tempo total de espera seja menor do que 11 minutos. (R.: 0,6896)