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Chamamos de funções primitivas à inversa de uma derivada. Por exemplo, em alguns casos, conhecemos a derivada de uma função e queremos achar a função primitiva, da qual nossa função é derivada. Um exemplo clássico é o caso da velocidade instantânea de um objeto. Já vimos que, em um instante `t`, a velocidade é dada por:
`v_i quad = quad {ds}/{dt} quad = quad f(t)`
Se precisarmos saber o espaço `s` percorrido em função do tempo `t`, seremos que achar uma função `F(t) = s`, cuja derivada é `ds//dt`, ou seja, precisamos achar a primitiva de `f(t)`. Este processo é chamado de primitivação ou o inverso da derivada.
Considere uma função `f(x) = 2x`. Podemos afirmar que esta função é a derivada de uma função de `F(x) = x^2`, uma vez que:
`F'(x) = 2x`
Mas a derivada das funções `x^2+1`, `x^2+5`, `x^2 -10` e outras que tenham `x^2` somado a um valor numérico (positivo ou negativo) também é `2x`. Assim, podemos dizer que `x^2` é uma das primitivas de `2x` e, evidentemente, qualquer função `F(x) = x^2 + C`, onde `C` é uma constante numérica, também serão funções primitivas de `2x`. Assim, se `F'(x) = f(x)`, podemos definir a primitiva de `f(x)` como:
`text{prim } f(x) = F(x) + C`
Por exemplo, vamos considerar a função `f(x) = 3x^2 + 4x + 2`. A função primitiva será calculada pela inversa da operação da derivada. Neste caso, sabendo-se que:
`f'(x^n) = n*x^{n-1}`
Se tomarmos a inversa, ou seja,
`F(nx^{n-1}) = {x^{n+1}}/{n+1}`
podemos escrever:
`text{prim } f(x) = 3*{x^3}/3 + 4*{x^2}/2 + 2* x/1 + C quad = quad x^3+2x^2+2x+C`
As funções integrais são primitivas calculadas a partir do diferencial de uma função. Assim, dizemos que a função `F(x) + C` é a integral do diferencial de `f(x)`, ou seja:
`int quad f(x) dx quad = quad F(x)+C qquad qquad (1)`
Já vimos, anteriormente, que o sinal `int` representa um `S` mais alongado e vem da palavra soma. Além disso, o significado da equação (1) é que a primitiva `F(x)+C` é calculada pela soma dos diferenciais. Como vimos, o diferencial é o produto da derivada pelo acréscimo da função. Então, se tomarmos todos os acréscimos de uma função, teremos a função toda, ou seja, a função integral. Por isto, o inverso do diferencial é denominado integração.
Por exemplo, considere uma função `f(x) = 3x^2`. A integral de `f(x)dx` será:
`int quad 3x^2 quad dx = x^3 + C`
Já que `d(x^3+C) = 3x^2 quad dx`. Onde `C` é uma constante. O sinal `int` é chamado de sinal de integração ou o operador de integral e o diferencial `f(x)dx` sob o sinal de integração é denominado integrando. O resultado é chamado de integral indefinida (ou simplesmente integral) e, diferenciando-se a integral, encontra-se sempre o integrando. A constante arbitrária `C` é chamada de constante de integração e, exatamente por ela ser arbitrária que a integral é chamada de indefinida.
A constante de integração pode ser determinada desde que se conheça alguma condição da função. Por exemplo:
Encontre a equação de uma curva, sabendo-se que o coeficiente angular em qualquer de seus pontos é sempre o dobro do valor de `x` e a curva passa pelo ponto de coordenadas (2,6).
Vamos partir de `y=f(x)`, onde `f(x)` é a equação que procuramos. O coeficiente angular, pela definição de derivada é `y'=f'(x)` e sabemos, pelo enunciado do problema que:
`{:[ quad,y',quad = quad f'(x)quad = quad 2x], [ :., dy, quad = quad f'(x) quad dx quad = quad 2x quad dx], [ :., y ,quad = quad int dy quad = quad int 2x quad dx] :}`
oras, se `d(x^2+C) = 2xdx`, podemos escrever:
`int 2x quad dx = x^2+C`
Muito bem, `x^2+C` representa um conjunto de curvas que satisfazem uma condição do problema, ou seja, o coeficiente angular em qualquer ponto de `f(x)` é o dobro de `x`. No entanto o problema diz que a curva passa pelo ponto (2,6), o que significa que quando `x=2` então `y=6`. Assim, a equação `y=x^2+C` pode ser escrita como:
`6 = 4 + C qquad :. qquad C=2`
Então, a equação procurada é:
`y=x^2+2`
que é a equação da curva que satisfaz as duas condições do problema.
Vejam mais sobre integral na Wikipedia.
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