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Uma função `f(x)` definida em um entorno de `x=a` é dita contínua no ponto `x=a` se, e somente se, o `lim_(x\to a) quad f(x)` existe e é igual a `f(a)`, ou seja, se, e somente se, para cada `epsilon` real e positivo existe `delta > 0` e real tal que `|x-a| lt delta` e implica em `|f(x) - f(a)| lt epsilon`.
Em outras palavras, uma função é contínua em um ponto `x=a`, quando satizfaz as seguintes condições:
`lim_(x\to a) quad f(x) = L`
`lim_(x\to a) quad f(x) = f(a)`
Uma função pode ser contínua à direita de `a` se `lim_(x\to a^{+}) quad f(x) = f(a)`, ou contínua à esquerda de `a` se `lim_(x\to a^{-}) quad f(x) = f(a)`.
Quando uma função não se encaixa em alguma das condições acima, dizemos que ela é descontínua no ponto `a`.
Uma função pode ser contínua em um intervalo e descontínua em outro. Por exemplo:
`f(x) = {x^2 - 1}/{x-1}`
é contínua no intervalo `[-infty,1)` e no intervalo `(1,+infty]`, mas não é definida para `f(1)`. Podemos dizer, por exemplo, que no intervalo de `[0,2]` a função é descontínua, pois existe um ponto neste intervalo onde `f(x)` não existe.
O conceito de continuidade de uma função em um determinado ponto é de grande importância no cálculo diferencial pois, se uma função é derivável em um ponto (existe uma tangente a este ponto), ela é contínua neste ponto.
Note que a recíproca não é verdadeira, por exemplo, `f(x) = |x|` é contínua em todo o seu domínio, mas não é derivável na origem, pois veremos que por mais que aproximemos o entorno do ponto `(0,0)` sempre temos o mesmo gráfico:
| agraph width=200; height=200; plot(abs(x)) endagraph |
1. Teorema da permanência do sinal.
Se uma função `f(x)` é contínua em um ponto `x=a` e `f(a) ne 0`, então existe um entorno `delta` deste ponto, no qual a função conserva o sinal de `f(a)`.
| agraph xmin=-0.1; xmax=2; ymin=-0.1; ymax=1.5; setBorder(0); axes(); initPicture(); stroke = "red"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "4,3"; line([1,0],[1,0.84]); text([1.2,0.84],"`f(x) > 0`"); line([0.8,0],[0.8,0.7]); text([0.5,0.7],"`f(a) > 0`"); text([1,-0.1],"`x`"); text([0.8,-0.1],"`a`"); stroke = "blue"; strokewidth = "2"; strokedasharray = "0,0"; plot(sin(x),0.1,1.5); stroke = "#337744"; strokewidth="2"; line([0.75,0],[1.05,0]); text([0.5,0.1],"`a-delta`"); stroke = "black"; strokewidth="0.5"; line([0.62,0.12],[0.73,0.01]); text([1.3,0.1],"`a+delta`"); line([1.18,0.12],[1.06,0.01]); endagraph |
De fato, se `f(a) > 0`, existe um entorno `delta` de `a`, tal que `f(x) > 0` para `|x-a| lt delta`. O mesmo acontece se `f(a) lt 0`, pois `f(x) lt 0` para `|x-a| lt delta`.
2. Teorema da existência do zero.
Se uma função `f(x)` é contínua em um intervalo fechado `[a,b]` e `f(a)` tem sinal contrário de `f(b)`, então existe pelo menos um ponto `c` neste intervalo em que `f(c) = 0`.
| agraph xmin=-0.1; xmax=2; ymin=-1; ymax=1; setBorder(0); axes(); initPicture(); stroke = "red"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "4,3"; a=cos(0.2+0.9); b=cos(1.5+0.9); line([0.2,0],[0.2,a]); text([0.44,a],"`f(a) > 0`"); line([1.5,0],[1.5,b]); text([1.7,b],"`f(b) lt 0`"); text([0.66,-0.1],"`c`"); text([0.2,-0.1],"`a`"); text([1.6,-0.1],"`b`"); text([0.8,0.1],"`f(c) = 0`"); stroke = "blue"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "0,0"; plot(cos(x+0.9),0.2,1.5); endagraph |
Como podemos observar na figura acima, se `f(a) > 0`, `f(b) lt 0` e `f(x)` é contínua no intervalo `[a,b]`, deve existir, pelo menos um ponto `c` entre `a` e `b`, tal que `f(c) = 0`.
3. Teorema dos valores intermediários.
Se uma função `f(x)` é contínua em um intervalo fechado `[a,b]`, seja `alpha` um valor qualquer entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um ponto `c` entre `a` e `b`, tal que `f(c) = alpha`.
| agraph xmin=-0.4; xmax=7.5; ymin=-0.4; ymax=4.5; setBorder(0); axes(); initPicture(); stroke = "red"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "4,3"; c1=pi-2.12; c2 = pi; c3 = pi+2.73; a = 0.5; b = 6.5; fa = (sin(a/10)+2*sin(a)+3*sin(3*a/10)); fb = (sin(b/10)+2*sin(b)+3*sin(3*b/10)); fc1 = (sin(c1/10)+2*sin(c1)+3*sin(3*c1/10)); fc2 = (sin(c2/10)+2*sin(c2)+3*sin(3*c2/10)); fc3 = (sin(c3/10)+2*sin(c3)+3*sin(3*c3/10)); line([a,0],[a,fa]); line([0,fa],[a,fa]); line([b,0],[b,fb]); line([0,fb],[b,fb]); line([c1,0],[c1,fc1]); line([c2,0],[c2,fc2]); line([c3,0],[c3,fc3]); line([0,fc2],[c3,fc2]); text([-0.3,fc2],"`alpha`"); text([a,-0.3],"`a`"); text([c1,-0.3],"`c_1`"); text([c2,-0.3],"`c_2`"); text([c3,-0.3],"`c_3`"); text([b,-0.3],"`b`"); text([c1,fa],"`f(a)`"); text([b+0.4,fb],"`f(b)`"); stroke = "blue"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "0,0"; plot((sin(x/10)+2*sin(x)+3*sin(3*x/10)),0.5,6.5); endagraph |
Se `f(a) lt alpha lt f(b)` então existirá, pelo menos um ponto `c` no intervalo `[a,b]`, tal que `f(c) = alpha`. No exemplo do gráfico acima, temos que `f(c_1) = f(c_2) = f(c_3) = alpha`.
Uma outra forma de enunciar este teorema é:
Uma função `f(x)` contínua em um intervalo `[a,b]`, assume todos os valores intermediários entre `f(a)` e `f(b)`, pelo menos uma vez.
4. Teorema dos máximos e mínimos de uma função contínua.
Qualquer função `f(x)` contínua num intervalo fechado `[a,b]`, é limitada por um máximo e um mínimo deste intervalo.
A função é dita limitada se o seu conjunto imagem é limitado. Assim, se `f(x)` é contínua em `[a,b]` devem existir dois valores `alpha` e `beta`, pertencentes a este intervalo tais que `f(alpha) le f(x) le f(beta)`, para qualquer valor de `x` no intervalo `[a,b]`.
Neste caso, dizemos que `f(alpha)` é o seu mínimo e `f(beta)` é o seu máximo.
Para aprender mais sobre continuidade, veja esta página e veja a página da Wikipedia.
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