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Limites de fundamentais

Em matemática existem alguns limites de funções especiais que são denominados limites fundamentais. Estes limites são:

`1^o` Limite fundamental

O limite de `{sen x}/x`, quando `x rarr 0` é igual a 1, sendo `x` expresso em radianos.

`lim_(x\to 0) {sen x}/x = 1`

Demonstração

Vamos considerar um círculo de raio `R=1` e um arco `hat(N'P) = theta.R`.

O segmento `bar(PP')` corresponde ao `sen quad theta`, e `bar(N N')` corresponde à `tan quad theta`. Podemos aceitar, que:

`bar(PP') lt hat(PN') lt bar(N N')`

que, considerando `R=1` temos:

`sen quad theta lt theta lt tan quad theta`

Se dividirmos tudo por `sen quad theta`, e tomarmos o inverso, temos:

`1 > {sen quad theta}/theta > cos quad theta`

agraph width="400"; height="400"; xmin=-1.5; xmax=1.5; ymin=-1.5; ymax=1.5; initPicture(); axes(); teta=(pi/5); p1= cos(teta); p2= sin(teta); h=tan(teta); k=cot(teta); setBorder(0); stroke = "blue"; strokewidth = "2"; circle([0,0],1,"ct"); stroke="black"; strokewidth="1"; strokedasharray = "4,3"; line([0,0],[2*p1,2*p2]); line([0,p2],[p1,p2]); stroke="red"; strokewidth="1"; strokedasharray = "null"; line([0,0],[p1,p2]); line([p1,0],[p1,p2]); line([0,0],[p1,0]); line([1,0],[1,h]); line([0,1],[k,1]); arc([0.2,0],[0.2*p1,0.2*p2],0.2); text([-0.05,-0.05],"`O`"); text([0.5,-0.05],"`x`"); text([p1,-0.05],"`P^{,}`"); text([0.25,0.1],"`theta`"); text([0.35,0.35],"`R`"); text([p1+0.05,p2/2],"`y`"); text([0.95,0.4],"`s`"); text([1.05,h/2],"`H`"); text([p1,p2+0.07],"`P`"); text([k/2,1.05],"`K`"); text([-0.07,1.07],"`M^{,}`"); text([k,1.07],"`M`"); text([1.07,-0.05],"`N^{,}`"); text([1.07,h],"`N`"); endagraph

Oras, se `lim_(theta\to 0) 1 =1` e `lim_(theta\to 0) quad cos quad theta = 1` e inferimos, por confronto dos limites, que:

`lim_(theta\to 0) quad {sen quad theta}/theta = 1`

`2^o` Limite fundamental

O limite de `(1+1/x)^x`, quando `x rarr infty` é igual a `e`, onde `e` é a base dos logaritmos naturais ou neperianos.

`lim_(x\to infty) (1+ 1/x)^x = e`

Este limite é equivalente a: `lim_(x\to 0) (1+x)^{1/x} = e`

O número e

Os logaritmos naturais ou neperianos (veja mais na Wikipedia) são logaritmos que utilizam uma base irracional, definida pela soma de uma série infinita:

`e= sum_{n=0}^{infty} quad 1/{n!} = 1+ sum_{n=1}^{infty} (1/n)^n`

Como resultado, a soma desta série converge para `2,718281828` quando `n rarr infty`. Assim, podemos escrever que:

`lim_(n\to infty) (1+1/n)^n = e`

Se tomarmos `x=1/n` vemos que se `n rarr infty` então `x rarr 0` e podemos escrever:

`lim_(x\to 0) (1+x)^{1/x} = e`

`3^o` Limite fundamental

O limite de `({a^x -1}/x)`, quando `x rarr 0` é igual ao `ln quad a` (logaritmo natural ou neperiano de `a`).

`lim_(x\to 0) quad {a^x-1}/x = ln quad a`

Demonstração

Se observarmos a relação `{a^x - 1}/x`, notamos que, quando `x\rarr 0` a expressão tende a `0/0`. Podemos usar um artifício matemático para levantar a indeterminação deste limite.

Tomemos `a^x -1 = t`, tal que `t\rarr 0` quando `x\rarr 0`. Então podemos escrever:

`qquad qquad a^x - 1 = t qquad qquad qquad (1)`
`qquad qquad a^x = t + 1`
`:. qquad x quad ln quad a = ln quad (1 + t)`
`:. qquad x = {ln quad (1+t)}/{ln quad a} qquad qquad qquad (2)`

Substituindo-se `(1)` e `(2)` em `lim_(x\to 0) quad {a^x-1}/x`, temos:

`lim_(t\to 0) quad t/{{ln quad (1+t)}/{ln quad a}} = lim_(t\to 0) quad {ln quad a}/{1/t quad ln quad (1+t)}`
`= lim_(t\to 0) quad {ln quad a}/{ln quad (1+t)^{1/t}} = {ln quad a}/{ln quad e}= ln quad a`

Outros limites úteis

`lim_(x\to 0) (sen nx)/x`, aparentemente tende a `0/0`, no entanto se multiplicarmos ambos os lados por `n`, teremos que:

`lim_(x\to 0) (sen quad nx)/(nx) *n = n`.