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Propriedades dos Limites

As propriedades dos limites podem ser divididas em fundamentais e algébricas.

Propriedades Fundamentais dos limites

1. Limite de uma constante

O limite de uma constante é igual à própria constante.

Se `f(x) = C`, onde `C` é uma constante, então, qualquer que seja `n`:

`lim_(x\to n) f(x) = lim_(x\to n) C = C, qquad \forall n`

2. Princípio da Unicidade dos limites

Uma função não pode tender a dois limites distintos no mesmo ponto.

De fato, se `lim_(x\to a) f(x) = M` e `lim_(x\to a) f(x) = N`, então `M=N`.

3. Princípio do sinal dos limites

Se `lim_(x\to n) f(x) = p`, onde `p` é diferente de zero, existe um entorno `delta` deste ponto, tal que para todo `x \ne n`, `f(x)` tem o mesmo sinal de `p`.

4. Princípio da equivalência dos limites

Dadas duas funções equivalentes `f(x)` e `g(x)` que têm valores iguais em todos os pontos em um entorno `delta` de `n`, exceto no ponto `n`; se o `lim_(x\to n) f(x) = p`, então `lim_(x\to n) g(x) = p`.

Por exemplo, tomemos duas funções:

`f(x) = {x^2 - 1}/{x-1} qquad qquad g(x) = x+1`

Os valores do contradomínio de `f(x)` e `g(x)` são os mesmos, exceto no ponto `x=1`, onde `f(1)` não é definida e `g(1) = 2`. Mas, como em qualquer outro ponto `f(x) = g(x)`, no entorno `delta` de `1` também. Assim,

`lim_(x\to 1) quad {x^2 -1}/{x-1} = lim_(x\to 1) (x+1) = 2`

Propriedades Algébricas dos limites

Estas propriedades se aplicam a limites finitos. Os casos de excessão, envolvendo limites infinitos ou casos de indeterminação, são tratados separadamente (veja, por exemplo, Regra de L'Hopital )

Limites de somas e diferenças: Se duas funções têm limites finitos, o limite de sua soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) dos limites das funções.
`lim (f(x) +- g(x)) = lim f(x) +- lim g(x)`
Limites de Produtos: Se duas funções têm limites finitos, o limite do produto entre elas é igual ao produto dos limites.
`lim (f(x)quad g(x)) = lim f(x) quad lim g(x)`
Produto por um escalar: Se uma função tem limite finito, o limite do seu produto por um escalar é igual ao produto do escalar pelo limite da função.
`lim (lambda quad f(x)) = lambda quad lim f(x)`
Limite de um quociente: Sejam duas funções cujos limites são finitos, o limite da divisão entre elas é igual ao quociente dos limites, desde que o divisor seja diferente de zero e nenhuma delas seja igual ao infinito.
Seja `lim f(x)=p` e `lim g(x)=q`, onde `p,q ne infty qquad in RR` e `q ne 0`, então:

`lim ({f(x)}/{g(x)}) = {lim f(x)}/{lim g(x)} = p/q`

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