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Seqüências e Séries

Os números podem ser ordenados em uma determinada seqüência, com uma variação constante. Estas seqüências são denominadas progressões. As progressões são formadas por um fator constante entre cada dois termos da seqüência denominado razão. Elas podem ser de dois tipos:

Aritmética: quando a seqüência é formada pela soma da razão a cada termo, ou seja, a relação entre um elemento e o elemento seguinte é a soma ou a diferença do valor da razão; e
Geométrica: quando a seqüência é formada pela multiplicação da razão a cada termo, ou seja, a relação entre um elemento e o elemento seguinte é a multiplicação ou o quociente pela razão.

Progressão aritmética

Seja `a_0` o primeiro termo de uma progressão de razão `r`, podemos definir uma progressão artimética (PA) como:

`a_j = a_0 + jr qquad (j=0,1,2,...)`

A seqüência dos números inteiros positivos é uma progressão aritmética de razão `1` a partir do zero:

`a_j = a_0+j`

ou seja, `a_0=0, a_1=a_0+1, a_2=a_0+2,...`.

As progressões aritméticas são constantes se a razão for `0` (`r=0`), crescentes se a razão for um número real maior que zero (`r>0`) ou decrescente se a razão for um número real menor que zero (`r<0`). Por exemplo:

Constante: `{5, 5, 5, 5,...} qquad qquad r=0`
Crescente: `{2, 5, 8, 11, 14, 17...} qquad qquad r=3`
Decrescente: `{-1/2, -1, -3/2, -2, ...} qquad qquad r=-1/2`

Uma PA pode ser finita (`{2,6,10,..., 30}`) ou infinita (`{0,4,8,...}`). A soma de uma PA finita com o primeiro termo `a_0` pode ser calculada pelo número de termos e a razão:

`S_n = sum_{j=0}^n a_j = {n+1}/2 (2 a_0 + nr)`

ou pelo número de termos e o último termo:

`S_n = sum_{j=0}^n a_j = {n+1}/2 (a_0+a_n)`

Progressão geométrica

Seja `a_0` o primeiro termo de uma progressão de razão `r`, podemos definir uma progressão geométrica (PG) como:

`a_j = a_0 r^j qquad (j=0,1,2,...)`

As progressões geométricas são constantes se a razão for `1` (`r=1`) ou se o primeiro termo for zero, crescentes se a razão for um número real maior que zero (`r>0`) ou decrescente se a razão for um número real menor que um e maior que zero (`r<1 ^^^ r>0`). Por exemplo:

Constante: `{4, 4, 4, 4,...} qquad qquad r=1`
Crescente: `{2, 6, 18, 54,...} qquad qquad r=3`
Decrescente: `{0,5, ; 0,25 ; 0,125, ; ...} qquad qquad r=0,5`

Uma PG de razão negativa é chamada de oscilante, pois será composta de termos positivos e negativos alternados. Por exemplo: `{2,-4,8,-16,quad ..., quad 128}` é uma PG de `2` a `128` de razão `r=-2`. Uma PA de razão `-1` é oscilante e periódica: `{1,-1,1,-1...}`.

Uma PG pode ser finita (`{2,10,50, ..., 1250}`) ou infinita (`{1,6,36,...}`). A soma de uma PG finita com o primeiro termo `a_0` pode ser calculada pelo número de termos e a razão:

`S_n = sum_{j=0}^n a_j = sum_{j=0}^n a_0^{r^j} = a_0 {1-r^{n+1}}/{1-r}`

ou pelo último termo e a razão:

`S_n = sum_{j=0}^n a_j = {a_0 - a_n r}/{1-r}`

Séries

O conceito de série está ligado à soma de uma seqüência. Embora uma PA ou uma PG sejam séries, nem toda série é, necessariamente, uma PA ou PG, por exemplo, uma série de quadrados dos termos (`{1^2, 2^2, ...}`), onde a base é uma PA de razão 1, mas a série resultante(`{1,4,9, ...}`) não é nem PA nem PG. Em alguns casos, a razão dos termos de uma série pode ser uma PA ou PG.

As séries, como as progressões, podem ser finitas ou infinitas embora o estudo das séries esteja mais ligado às séries infinitas. Por exemplo:

`1/3 = 0,333333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 ...`

ou seja, `1//3` é igual à soma de uma PG infinita de razão `10^{-1}` cujo primeiro termo `a_0 = 0,3`.

Uma série finita de quadrados até o n-ésimo termo (nesta caso `n` é finito), pode ser expressa por: `{0,1,4,9,16,25, ..., n^2}` e neste caso, sua soma é dada por:

`1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + (n-1)^2 + n^2 = 1/6 n(n+1)(2n+1)`

Fatoriais

Um dos conceitos matemáticos importantes que envolve uma série de números inteiros positivos é o conceito de fatorial. O fatorial de um número `n` é o produto dos termos da PA de zero a `n` de razão `r=1`, ou seja, é calculado pela multiplicação de todos os seus antecessores até zero e é representado pelo número seguido do ponto de exclamação (`n!`). Por definição, o fatorial de zero é igual a `1`.

`n! = n quad xx quad (n-1) quad xx quad (n-2) quad xx cdots xx 2 xx 1`

ou seja,

`n! = prod_{k=1}^n k = 1 cdot 2 cdot 3 cdot ... cdot (n-1) cdot n`

Podemos definir o fatorial de um número de forma recursiva, como:

`n! = n quad xx quad (n-1)!`