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Exponencial e Raízes

A multiplicação de um número por ele mesmo é denominado exponencial ou potência de um número e é expresso por um índice superior do lado direito do número que representa quantas vezes o número é multiplicado por si mesmo. Por exemplo, `a^n`, onde `a` é denominado base e `n` é denominado expoente.

Podemos definir a exponenciação de forma recursiva, como:

Vamos, então, tentar deduzir alguns postulados da exponenciação com base nesta relação:

1. `a^{-1} = 1/a`. De fato `a^{-1} = a \times a^{-2} = a/a^2 = 1/a` ;
2. `a^0 = a \times a^{-1} = a/a`, logo `a^0 = 1`;
3. Se `a^n = a^1 \times a^{n-1}`, então `a^n = a^{1+(n-1)}`, logo:
   `a^n \times a^p = (a \times a^{n-1}) \times (a \times a^{p-1})`
   ou seja,
   `a^n \times a^p = a^{(n+p)}`
4. Do mesmo modo, `a^n/a^p = a^{n-p}`.

Ainda podemos deduzir que `(a^n)^p = a^{np}`.

Propriedades da exponenciação

As propriedades da exponenciação são:

1. Qualquer número elevado ao expoente 1 é ele mesmo: `a^1 = a quad AA a in RR`;
2. Qualquer número elevado a zero é igual a 1: `a^0 = 1`;
3. O exponencial de uma multiplicação é igual ao exponencial de cada um dos fatores: `(ab)^n = a^n b^n`;
4. O exponencial de uma razão de denominador diferente de zero, é igual ao exponencial do numerador sobre o exponencial do denominador: `(a/b)^n = a^n/b^n quad quad (b!=0)`;
5. Qualquer número negativo elevado a um expoente par, resulta em um número positivo;
6. Qualquer número negativo elevado a um expoente ímpar, resulta em um número negativo.

Radiciação

A operação inversa da exponenciação (`a^{1/n}`) é a radiciação (ou raízes), representada pelo símbolo `rootna`. A raíz quadrada de `a` (`root2a`) é representada apenas por `sqrt a`, dispensando-se o `2` do radical. Podemos dizer que:

`a^{1/n} quad equiv quad rootna = x quad | quad x^n = a`

ou seja, a raíz `n` de `a` é igual a `x`, se `x^n=a`.

A radiciação, por ser a operação inversa da exponenciação tem as mesmas propriedades. No entanto, como os números reais negativos, se elevados a uma potência par, resultam em números reais positivos, a raíz par de um número real positivo pode não ser positiva. Assim, costuma-se representar ambos os resultados, por exemplo:

`sqrt{x^2} = +- x`

porque `-x^2 = x^2`. Além disso, nem todas as raízes de números reais são, necessariamente reais. Por exemplo: `sqrt{-x}` não existe no domínio dos números reais, porque não existe nenhum número que elevado ao quadrado resulte em um resultado negativo (mais adiante definiremos o domínio dos números imaginários).

Ainda, sobre as propriedades da radiciação, não existe a inversa de `a^0`, pois `root0a` implica em `a^{1/0}`.

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