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Relações Numéricas

Os números guardam, entre si, vários tipos de relações, por exemplo:

`6/3 quad = quad 4/2 quad = quad 2`

ou seja, existem várias formas de se expressar as quantidades. Outra forma de se relacionar os números é por meio de equações, por exemplo:

`a = 2b` que, por sua vez pode ser expresso como `b=a/2`

Estas relações são expressas por sinais como `=`, `-=`, `>=`, `>`, `<`, `<=`, `!=` etc.. Vamos, então, às famosas definições óbvias da matemática (os axiomas) para estas entidades.

Relações de igualdade

As relações de igualdade são expressas pelo sinal `=` e podem ser definidas pelos axiomas:

Simetria: Se `a=b`, então `b=a`;
Transitividade: Se `a=b` e `b=c`, então `a=c`;
Reflexividade: para qualquer a, `a=a`;
Substitutiva: Se `a=b`, então `f( a)=f( b)`, se `f()` é uma operação que retorna um único valor.

A propriedade substitutiva pode ser extendida a outros operadores como, por exemplo: Se `a=b`, então `a+c=b+c`, `a-c=b-c`, `ac=bc` etc.. Além disso, se `ab=0` implica em `a=0` ou `b=0` ou `a=b=0`.

Relações de identidade

Muitas vezes a identidade e a igualdade se confundem. Entretanto, quando a relação de igualdade se aplica, independentemente do valor de uma variável, podemos representá-la pela identidade. A identidade é representada pelo sinal `-=` e se diferencia da igualdade matemática que é mais restrita certas condições.

Por exemplo, `(x-1)(x+1) = 3` quando `x= +- 2`. Isto é uma igualdade, ou seja, é restrita ao valor `2` ou `-2` de `x`. No entanto, quando escrevemos `(x-1)(x+1) -= x^2 - 1` dizemos que as duas expressões são equivalentes e a relação é uma identidade.

Relações de desigualdade

Assim como existem relações de igualdade e identidade, na matemática existem as relações de desigualdade, ou seja, uma quantidade ou expressão pode ser maior que (`>`) ou menor que (`<`) outra.

Estas relações têm os mesmos axiomas da igualdade, ou seja:

`a>b` implica em `b < a`;
Se `a>b`, então `a+c>b+c` e `ac>bc`;
Se `a>b`, então `-a<-b` e `1//a < 1//b` para `a>0` e `b>0`.

Além disso, a matemática tem uma representação para igualdade e desigualdade para designar grandeza menor ou igual a (`<=`) e maior ou igual (`>=`) que outra; e, também um sinal para designar a desigualdade absoluta (`!=`).

Assim, se `a<=A` e `b<=B` implica em `a+b<=A+B` e, se `a>=b` e `b>=c` implica em `a>=c`.

Valores absolutos

Para terminar este tópico de relações, existe ainda relações que lidam com valores absolutos de uma grandeza ou expressão. Os valores absolutos são definidos para qualquer número real `a`, tal que se `a>=0` é igual a `a` e se `a<=0` é igual a `-a`. representa-se os valores absolutos entre duas barras verticais (`|a|`)

`|a| = 0` implica em `a=0` e `|a|>0` implica em `a!=0`;
`{(|a|+|b| >= |a+b| >= ||a|-|b||),(|a|+|b| >= |a-b| >= ||a|-|b||):}`
`|ab| = |a|\cdot |b|` e `|a/b| = |a|/|b|` para `b!=0`;
Se `|a|<=A` e `|b|<=B` implica em `|a|+|b|<=A+B` e `|ab|<=AB.

Assim, definimos os principais axiomas da aritmética e construimos uma base formal para novas definições.