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Mais números

Apesar de lidarmos diariamente com os números, devemos levar em consideração que eles são entidades abstratas da matemática. Claro que sabemos o que eles significam, mas é bem difícil definir um número como algo concreto, a não ser que o usemos para representar uma medida de quantidade. Assim mesmo, eles têm propriedades bem definidas.

Números Pares e Ímpares

Conceitualmente, sabemos o que são números pares. Podemos dizer que são números divisíveis por `2`. Mas o que é ser divisível por `2`. Primeiro temos que conceituar a divisibilidade.

Um número inteiro não nulo "b" divide um inteiro "a" se existir um inteiro "c", tal que:

`a = b quad xx quad c`

Agora temos nosso conceito de divisibilidade e, portanto, podemos definir o que é um número par. E número ímpar é todo aquele que não é par. Não! Esta definição é péssima e não se aceita este tipo de definição na matemática. Como já dissemos antes, a matemática é cheia de formalidades e, então, precisamos de uma definição formal para números ímpares.

Podemos usar o conceito de divisibilidade, mas de modo formal:

Um número inteiro "a" é ímpar se `a+1` for divisível por `2`.

Agora sim, temos uma definição mais formal.

Números Primos

Outro conceito importante da matemática é o conceito de números primos. Os números primos são estudados desde os tempos da Grécia antiga, por Euclides, e podem ser definidos como:

Um número inteiro `p>1` que tem como divisores positivos apenas o número `1` e ele mesmo, ou seja, `p` é divisível somente por `1` e por `p`.

Note que existem duas condições para um número ser primo. Ele tem que ser maior que `1` e ser divisível apenas por ele mesmo, portanto `1` não é primo apesar de ser divisível por `1` e por ele mesmo.

Além da sua curiosa situação, qualquer número natural, diferente de 1, é formado pela multiplicação de números primos, ou seja, qualquer número inteiro e positivo maior que `1` pode ser decomposto em uma multiplicação de números primos. Este processo de decomposição é conhecido como fatoração e os componentes primos de um número são chamados de fatores primos.

Os números primos muito grandes são amplamente utilizados em criptografia, por isso sua importância na ciência da computação.

Existem muitas tentativas de estabelecer uma expressão genérica para todos os números primos, mas já foi demonstrado que os números primos não ocorrem em intervalos regulares. Assim, uma forma é calcular cada um por fatoração dos números reais, o que demanda um grande poder computacional.

O método mais simples é o chamado Crivo de Eratóstenes. Existem outros métodos como os Números de Fermat e os Primos de Mersenne. Entretanto, não existe a prova de que os números primos sejam infinitos. Esta questão é um dos grandes enigmas da matemática (leia mais sobre números primos na Wikipedia).