Sistemas de Numeração


(Em construção. Não se esqueça de fazer RELOAD agora)

Última atualização: 29 de agosto de 1997

Resumo

Alguns conceitos básicos sobre Sistemas de Numeração serão tratados com o objetivo de estabelecer a notação utilizada nesta homepage, uma vez que este assunto é tratado em disciplinas como Fundamentos Matemáticos da Informática. Vários links são sugeridos no sentido de fornecer referências para uma revisão mais detalhada.


Números

Raras são as pessoas que se interessam por História da Ciência, em geral, e História da Matemática, em particular. É uma pena, pois a história mostra quão difícil foi chegarmos a este estágio de nossa civilização. Lembre que este hiperdocumento (homepage) faz uso de tecnologia só recentemente disponível a nós comuns mortais (Internet). Mesmo o Teorema de Pitágoras que, segundo os gregos, data de cerca de 500 anos antes de Cristo, ou seja, aproximadamente 2500 anos atrás, já teve esta datação questionada. Segundo o livro de Gillings, A Matemática na Era dos Faraós, foi encontrado um pergaminho que, após ser decifrado, fez os historiadores da ciência acreditarem que este teorema já era conhecido há cerca de, pelo menos, 1000 anos, antes, isto é, há cerca de 3500 anos. O mesmo acontece com a idéia de números.

Acredita-se que a necessidade de criação de números veio com a necessidade de contar. Seja o número de animais, alimentos, ou coisas do tipo. Como a evolução nos legou algumas características, como os cinco dedos em cada mão (fingers) e cinco dedos em cada pé (toes), seria muito natural que os primeiros sistemas de numeração fizessem uso das bases 10 (decimal) e 20 (vigesimal). O número 80, em francês, escrito como quatre-vingt (ou, quatro vezes o vinte) é remanescente de um sistema vigesimal.

Base de um Sistema de Numeração

Como se sabe, em Eletrônica e Computação, as bases mais utilizadas para sistemas de numeração são:

Uma relação entre elas pode ser visualizada na tabela a seguir

Binária

Octal

Decimal

Hexadecimal

00000

00

00

00

00001

01

01

01

00010

02

02

02

00011

03

03

03

00100

04

04

04

00101

05

05

05

00110

06

06

06

00111

07

07

07

01000

10

08

08

01001

11

09

09

01010

12

10

0A

01011

13

11

0B

01100

14

12

0C

01101

15

13

0D

01110

16

14

0E

01111

17

15

0F

10000

20

16

10

10001

21

17

11

10010

22

18

12

10011

23

19

13

10100

24

20

14

De acordo com a tabela acima, o número decimal 20 é representado por 2010, isto é, escreve-se o número e um índice indicando a base em que está representado. Tem-se portanto, a seguinte equivalência:

101002 = 248 = 2010 = 1416

Teorema da Representação por Base

Seja k qualquer inteiro maior que 1 (lembre que a palavra inteiro é usada apenas para números representados na base decimal). Então, para cada inteiro positivo n, existe uma representação (a prova deste teorema você encontra em qualquer bom livro de teoria numérica, como por exemplo, o de George E. Andrews.

n = a0ks + a1ks-1 + ... + as

onde a0>0 e cada ai é um inteiro não negativo maior que k. Esta representação de n é unica e é chamada de representação de n na base k. Exemplos:

  1. 1210 = 1.101 + 2.100 = 1210

  2. 1710 = 1.161 + 1.160 = 1116

  3. 1210 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = 11002

  4. 1210 = 1.81 + 4.80

O livro texto de nossa disciplina traz, além da descrição teórica, numerosos exemplos sobre sitemas de numeração. Sua leitura, nunca é demais reforçar, é absolutamente obrigatória. Aqui será oferecida uma grande quantidade de links para sites onde você pode encontrar leitura adicional para uma melhor compreensão do assunto:

Agora, veja algumas questões típicas sobre sistemas de numeração:

  1. Qual o decimal equivalente a 110110112?

  2. Qual o octal equivalente a 110110112?

  3. Qual o hexadecimal equivalente a 110110112?

  4. Qual o binário equivalente à sua idade? Qual seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal?

  5. Qual o maior binário que pode ser representado por uma série de 16 bits? Qual seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal?

Leia mais sobre sistemas de numeração aplicados a PC. Aproveite e dê uma olhada nas CPU´s, desde seu início até hoje: Great Microprocessors of the Past and Present.


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