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Última atualização: 29 de agosto de 1997

Resumo

Alguns conceitos básicos sobre Sistemas de Numeração serão tratados com o objetivo de estabelecer a notação utilizada nesta homepage, uma vez que este assunto é tratado em disciplinas como Fundamentos Matemáticos da Informática. Vários links são sugeridos no sentido de fornecer referências para uma revisão mais detalhada.

Números

Raras são as pessoas que se interessam por História da Ciência, em geral, e História da Matemática, em particular. É uma pena, pois a história mostra quão difícil foi chegarmos a este estágio de nossa civilização. Lembre que este hiperdocumento (homepage) faz uso de tecnologia só recentemente disponível a nós comuns mortais (Internet). Mesmo o Teorema de Pitágoras que, segundo os gregos, data de cerca de 500 anos antes de Cristo, ou seja, aproximadamente 2500 anos atrás, já teve esta datação questionada. Segundo o livro de Gillings, A Matemática na Era dos Faraós, foi encontrado um pergaminho que, após ser decifrado, fez os historiadores da ciência acreditarem que este teorema já era conhecido há cerca de, pelo menos, 1000 anos, antes, isto é, há cerca de 3500 anos. O mesmo acontece com a idéia de números.

Acredita-se que a necessidade de criação de números veio com a necessidade de contar. Seja o número de animais, alimentos, ou coisas do tipo. Como a evolução nos legou algumas características, como os cinco dedos em cada mão (fingers) e cinco dedos em cada pé (toes), seria muito natural que os primeiros sistemas de numeração fizessem uso das bases 10 (decimal) e 20 (vigesimal). O número 80, em francês, escrito como quatre-vingt (ou, quatro vezes o vinte) é remanescente de um sistema vigesimal.

Base de um Sistema de Numeração

Como se sabe, em Eletrônica e Computação, as bases mais utilizadas para sistemas de numeração são:

• Binária (Base 2)

• Octal (Base 8)

• Decimal (Base 10)

• Hexadecimal (Base 16)

Uma relação entre elas pode ser visualizada na tabela a seguir

Binária	Octal	Decimal	Hexadecimal
00000	00	00	00
00001	01	01	01
00010	02	02	02
00011	03	03	03
00100	04	04	04
00101	05	05	05
00110	06	06	06
00111	07	07	07
01000	10	08	08
01001	11	09	09
01010	12	10	0A
01011	13	11	0B
01100	14	12	0C
01101	15	13	0D
01110	16	14	0E
01111	17	15	0F
10000	20	16	10
10001	21	17	11
10010	22	18	12
10011	23	19	13
10100	24	20	14

De acordo com a tabela acima, o número decimal 20 é representado por 20₁₀, isto é, escreve-se o número e um índice indicando a base em que está representado. Tem-se portanto, a seguinte equivalência:

10100₂ = 24₈ = 20₁₀ = 14₁₆

Teorema da Representação por Base

Seja k qualquer inteiro maior que 1 (lembre que a palavra inteiro é usada apenas para números representados na base decimal). Então, para cada inteiro positivo n, existe uma representação (a prova deste teorema você encontra em qualquer bom livro de teoria numérica, como por exemplo, o de George E. Andrews.

n = a₀k^s + a₁k^s-1 + ... + a_s

onde a₀>0 e cada a_i é um inteiro não negativo maior que k. Esta representação de n é unica e é chamada de representação de n na base k. Exemplos:

1. 12₁₀ = 1.10¹ + 2.10⁰ = 12₁₀

2. 17₁₀ = 1.16¹ + 1.16⁰ = 11₁₆

3. 12₁₀ = 1.2³ + 1.2² + 0.2¹ + 0.2⁰ = 1100₂

4. 12₁₀ = 1.8¹ + 4.8⁰

O livro texto de nossa disciplina traz, além da descrição teórica, numerosos exemplos sobre sitemas de numeração. Sua leitura, nunca é demais reforçar, é absolutamente obrigatória. Aqui será oferecida uma grande quantidade de links para sites onde você pode encontrar leitura adicional para uma melhor compreensão do assunto:

• É claro que é possível e simples efetuar a conversão entre bases. O próprio livro texto traz tais exemplos, os quais podem e devem ser praticados a título de revisão.

• Sobre a representação de números na base 2 (binária), consulte o capítulo 2 do site de D. Fay.

• Veja esta página sobre Números Binários, da Case Western Reserve University.

• Já para as bases 8 (octal) e 16 (hexadecimal) veja o capítulo 3 de D. Fay.

• Veja este sobre Bits, Bytes, Nibbles e Números.

• Veja uma página supimpa sobre Sistemas de Numeração também da Case Western Reserve University.

• Como detetar e prevenir erros na transferência de dados entre computadores?

• Um número em um computador é representado por palavras.

• Aproveite e faça um download de um dicionário (em inglês) de termos técnicos, grátis, na área de computadores pessoais, com vários links na Internet.

Agora, veja algumas questões típicas sobre sistemas de numeração:

1. Qual o decimal equivalente a 11011011₂?

2. Qual o octal equivalente a 11011011₂?

3. Qual o hexadecimal equivalente a 11011011₂?

4. Qual o binário equivalente à sua idade? Qual seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal?

5. Qual o maior binário que pode ser representado por uma série de 16 bits? Qual seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal?

Leia mais sobre sistemas de numeração aplicados a PC. Aproveite e dê uma olhada nas CPU´s, desde seu início até hoje: Great Microprocessors of the Past and Present.

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