Resumo
Aqui são revisados alguns dos conceitos básicos de lógica, e sugeridos alguns links que tratam de métodos e princípios usados para distinguir entre o raciocínio correto e o incorreto, uso de linguagens, falácias formais e informais, diagramas de Venn, tabelas verdade, notação simbólica, dedução de provas e indução. Esses links introduzem noções fundamentais e técnicas da lógica formal que podem ser utilizadas em diferentes áreas. Em particular, fornecem o background necessário para outras disciplinas da Ciência da Computação, além, claro, de Circuitos Lógicos.
Proposição
Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:
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Frases que não são proposições
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Pare!
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Quer uma xícara de café?
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Eu não estou bem certo se esta cor me agrada
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Frases que são proposições
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A lua é o único satélite do planeta terra (V)
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A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
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O numero 712 é ímpar (F)
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Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
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Composição de Proposições
É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,
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A = "Maria tem 23 anos"
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B = "Maria é menor"
Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos:
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"Maria não tem 23 anos" (nãoA)
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"Maria não é menor"(não(B))
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"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
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"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)
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"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
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"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)
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"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))
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"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))
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Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)
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Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)
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"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
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"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B))
Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor.
Algumas Leis Fundamentais
| Lei do Meio Excluido | Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo. |
| Lei da Contradição | Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F. |
| Lei da Funcionalidade | O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes. |
Recomenda-se, fortemente, uma leitura da Homepage do Pensamento Crítico da San Jose State University´s para que você compreenda melhor a lógica e seu uso. Davide Gries, também, tem uma homepage interessante. Em sua homepage, há um link para outra homepage em que ele e Fred B. Schneider, possuem um texto que vale a pena conferir, pois trata, especificamente, de uma Introdução ao Ensino da Lógica como Ferramenta. Há uma frase, no inicio deste texto dizendo que lógica é a cola que gruda os métodos de raciocínio (Logic is the glue that binds together methods of reasoning, in all domains).
Tabela-Verdade
A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Abaixo segue a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados,
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A |
~(A), ou -A, ou /A, ou ainda, A' |
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F |
V |
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V |
F |
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A |
B |
Conjunção A . B, ou AB |
Disjunção A + B |
Implicação A => B |
Equivalência A <=> B |
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F |
F |
F |
F |
V |
V |
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F |
V |
F |
V |
V |
F |
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V |
F |
F |
V |
F |
F |
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V |
V |
V |
V |
V |
V |
Alguns destaques das tabelas-verdade tratadas:
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A negação, como o próprio nome diz, nega a proposição que tem como argumento. Tem como símbolo o acento "~" , ~A,ou, algumas vezes, uma barra sobre a variavel lógica, Ã, ou o sinal "-", -A, ou o símbolo "/", /A, ou ainda, o sinal "'", A'. Lembre-se que o símbolo nada mais é que uma simples representação da negação. O que é relevante é que o significado do símbolo seja explicitamente declarado. Aqui, os símbolos mais usados para a negação são o sinal "'", e barra por sobre a variável lógica,
.
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O símbolo mais utilizado para a conjunção, em Eletrônica Digital, é o ponto ".".
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O símbolo mais utilizado para a disjunção, em Eletrônica Digital, é o sinal "+".
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A única função da implicação lógica (A => B, onde A é o antecedente e B é o conseqüente) é afirmar o conseqüente no caso do antecedente ser verdadeiro. Segundo Quine, a única maneira de se negar a implicação lógica como um todo é quando isto não ocorre, isto é, tem-se o antecedente (A) V e o consequente (B) é F. Apenas neste caso, a implicação (A => B) é F. Em todos os outros casos é V.
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A equivalência sempre é V quando os dois argumentos possuem o mesmo valor lógico (seja, este valor, V ou F).
Use Predicado ao Invés de Proposição
No livro The Science of Programming, Gries extende o conceito de proposição para contemplar expressões do tipo,
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x > 2;
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6 < y < 10
Note que, neste caso, o predicado (ou composição extendida) somente tem valor lógico V para alguns valores da variável x (há casos onde nenhum valor de x, no universo considerado, satisfaz um predicado. Por exemplo: x2 < -29. Considerando, aqui, o universo como o conjunto dos números reais). No primeiro exemplo, caso estejamos trabalhando com o conjunto dos números inteiros, qualquer valor de x superior a 2, satisfaz o predicado.
Para treinar um pouco sobre o uso da lógica, as referências aqui oferecidas, são suficientes. Só mais alguns exemplos ilustrativos: Calcule os valores das variáveis que satisfazem os respectivos predicados,
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(x-20)2 < -29
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6 < (y-4) < 10
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6 - x =>10
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x - 8 =>10 - x
Desnecessário dizer da importância dos exercícios práticos sugeridos. Após, vamos rever alguns pontos fundamentais da Álgebra Booleana.
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