Introdução à Lógica


(Em construção. Não se esqueça de fazer RELOAD agora)

Resumo

Aqui são revisados alguns dos conceitos básicos de lógica, e sugeridos alguns links que tratam de métodos e princípios usados para distinguir entre o raciocínio correto e o incorreto, uso de linguagens, falácias formais e informais, diagramas de Venn, tabelas verdade, notação simbólica, dedução de provas e indução. Esses links introduzem noções fundamentais e técnicas da lógica formal que podem ser utilizadas em diferentes áreas. Em particular, fornecem o background necessário para outras disciplinas da Ciência da Computação, além, claro, de Circuitos Lógicos.


Proposição

Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:

  1. Frases que não são proposições

    • Pare!

    • Quer uma xícara de café?

    • Eu não estou bem certo se esta cor me agrada

  2. Frases que são proposições

    • A lua é o único satélite do planeta terra (V)

    • A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)

    • O numero 712 é ímpar (F)

    • Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)

Composição de Proposições

É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,

  1. A = "Maria tem 23 anos"

  2. B = "Maria é menor"

Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos:

  1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA)

  2. "Maria não é menor"(não(B))

  3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)

  4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)

  5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)

  6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)

  7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))

  8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))

  9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)

  10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)

  11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)

  12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B))

Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor.

Algumas Leis Fundamentais
Lei do Meio Excluido Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo.
Lei da Contradição Uma proposição não pode ser, simultaneamente, VF.
Lei da Funcionalidade O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes.

Recomenda-se, fortemente, uma leitura da Homepage do Pensamento Crítico da San Jose State University´s para que você compreenda melhor a lógica e seu uso. Davide Gries, também, tem uma homepage interessante. Em sua homepage, há um link para outra homepage em que ele e Fred B. Schneider, possuem um texto que vale a pena conferir, pois trata, especificamente, de uma Introdução ao Ensino da Lógica como Ferramenta. Há uma frase, no inicio deste texto dizendo que lógica é a cola que gruda os métodos de raciocínio (Logic is the glue that binds together methods of reasoning, in all domains).

Tabela-Verdade

A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Abaixo segue a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados,
Negação

A

~(A), ou -A, ou /A, ou ainda, A'

F

V

V

F

A

B

Conjunção

A . B, ou AB

Disjunção

A + B

Implicação

A => B

Equivalência

A <=> B

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

V

V

V

Alguns destaques das tabelas-verdade tratadas:

Use Predicado ao Invés de Proposição

No livro The Science of Programming, Gries extende o conceito de proposição para contemplar expressões do tipo,

  1. x > 2;

  2. 6 < y < 10

Note que, neste caso, o predicado (ou composição extendida) somente tem valor lógico V para alguns valores da variável x (há casos onde nenhum valor de x, no universo considerado, satisfaz um predicado. Por exemplo: x2 < -29. Considerando, aqui, o universo como o conjunto dos números reais). No primeiro exemplo, caso estejamos trabalhando com o conjunto dos números inteiros, qualquer valor de x superior a 2, satisfaz o predicado.

Para treinar um pouco sobre o uso da lógica, as referências aqui oferecidas, são suficientes. Só mais alguns exemplos ilustrativos: Calcule os valores das variáveis que satisfazem os respectivos predicados,

  1. (x-20)2 < -29

  2. 6 < (y-4) < 10

  3. 6 - x =>10

  4. x - 8 =>10 - x

Desnecessário dizer da importância dos exercícios práticos sugeridos. Após, vamos rever alguns pontos fundamentais da Álgebra Booleana.


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