|
|
|
Milena Tápia |
|
milena@inf.ufsc.br |
|
|
|
|
Lógica difusa é uma lógica multivalorada capaz
de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural
e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos
computadores de hoje em dia. |
|
A representação depende não apenas do conceito,
mas também do contexto em que está sendo usada. |
|
A lógica difusa pode ainda ser definida como a
lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de
exatos, como estamos acostumados a trabalhar. |
|
|
|
|
A Lógica Difusa foi desenvolvida por Lofti A.
Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina
lógica multivalorada, teoria probabilística, IA e RNA para poder
representar o pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência
humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que
pela matemática. |
|
|
|
|
A lógica difusa objetiva fazer com que as
decisões tomadas pela máquina se aproximem cada vez mais das decisões
humanas, principalmente ao trabalhar com uma grande variedade de
informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões
do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc. Antes do surgimento da
lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas. |
|
A lógica difusa vem sendo aplicada nas seguintes
áreas: Análise de dados, Construção de sistemas especialistas, Controle e
otimização, Reconhecimento de padrões, etc. |
|
|
|
|
Baseia-se em palavras e não em números, ou seja,
os valores verdades são expressos lingüísticamente. Por exemplo: baixo,
médio, alto, e outros usados para definir estados de uma variável. |
|
Possui vários modificadores de predicado como
por exemplo: muito, mais ou menos, pouco, bastante, médio, etc; |
|
|
|
|
Possui também um amplo conjunto de
quantificadores, como por exemplo: poucos, vários, em torno de, usualmente; |
|
Faz usos das probabilidades lingüísticas, como
por exemplo: provável, improvável, que são interpretados como números fuzzy
e manipulados pela sua aritmética; |
|
Manuseia todos os valores entre 0 e 1, tomando
estes, como um limite apenas. |
|
|
|
|
Conjuntos com limites imprecisos. |
|
|
|
|
|
Definição formal: |
|
Um conjunto difuso A em X é expresso como um
conjunto de pares ordenados: |
|
|
|
|
|
|
Um conjunto difuso A definido no universo de
discurso X é caracterizado por uma função de pertinência mA, a qual
mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1]. |
|
mA:Xà[0,1] |
|
Desta forma, a função de pertinência associa a
cada elemento x pertencente a X um número real mA(X) no intervalo [0,1],
que representa o grau de possibilidade de que o elemento x venha a
pertencer ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x
pertencer ao conjunto A. |
|
|
|
|
|
|
Reflete o conhecimento que se tem em relação a
intensidade com que o objeto pertence ao conjunto difuso. |
|
Características das funções de pertinência: |
|
Medidas subjetivas; |
|
Funções não probabilísticas monotonicamente
crescentes, decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte
decrescente. |
|
|
|
|
|
X = {SF, Boston, LA} (discreto e não ordenado) |
|
C = “Cidade desejável para se viver” |
|
C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)} |
|
|
|
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) |
|
A = “Número de filhos” |
|
A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6),
(5, .2), (6, .1)} |
|
|
|
|
|
X = (Conjunto de números reais positivos) (contínuo) |
|
|
|
B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos” |
|
|
|
B = {(x, mB(x) )| x em X} |
|
|
|
|
|
Um conjunto difuso A, pode alternativamente ser
denotado por: |
|
x (discreto) |
|
x (contínuo) |
|
|
|
Obs.: Os símbolos S e representam o conjunto dos pares ordenados (x, mA(x)). |
|
|
|
|
|
Uma variável numérica possui valores numéricos: |
|
Idade = 65 |
|
Uma variável lingüística possui valores que não
são números, e sim, palavras ou frases na linguagem natural. |
|
Idade = idoso |
|
Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy. |
|
Todos os valores lingüísticos formam um conjunto
de termos: |
|
T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,... |
|
Maduro, não maduro,... |
|
Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,... |
|
Não muito jovem e não muito velho,...} |
|
|
|
|
Partição difusa da variável lingüistica “Idade”,
formada pelos valores lingüisticos “jovem”, “maduro” e “idoso”. |
|
|
|
|
mA(x)
= 1 |
|
Height(A) = Maxx mA(x) |
|
Supp(A) = {x| mA(x)
> 0 e x X} |
|
Core(A) = {x| mA(x)
= 1 e x X} |
|
|
|
Crossover(A) = {x| mA(x)
= 0.5} |
|
Aa = {x| mA(x) ³ a, x X} |
|
Aa+ = {x| mA(x) > a, x X} |
|
Normalidade |
|
Altura |
|
Suporte |
|
Núcleo |
|
|
|
Pontos de Cruzamento |
|
a-cut |
|
strong a-cut |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø |
|
|
|
|
|
Open left or right, |
|
closed |
|
Conjunto nulo |
|
Força |
|
|
|
Convexidade |
|
Simetria |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = {a, b, c, d, e} |
|
A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} (normal) |
|
B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e} (subnormal) |
|
|
|
Height(A) = 1 e Height(B)
= 0.9 |
|
Supp(A) = {a, b, c, d} e Supp(B)
= {a, b, c, d, e} |
|
Core(A) = {a} e Core(B) =
Ø |
|
|
|
|
|
|
A = {0.3/a, 1/b, 0.5/c, 0.9/d, 1/e} |
|
|
|
para 0.3 ³ a ³ 0 Aa = {a, b, c,
d, e} |
|
para 0.5 ³ a > 0.3 Aa = {b, c, d, e} |
|
para 0.9 ³ a > 0.5 Aa = {b, d, e} |
|
|
|
|
|
A Ì B, se mB(x) ³ mA(x) para cada x X |
|
A = B, se mA(x) = mB(x) para
cada x X |
|
ù A
= X - A à mùA(x) = 1 - mA(x) |
|
|
|
mE(x)
= Max [0, mA(x)
- mB(x)] |
|
|
|
C = A È B à mc(x) = max(mA(x),
mB(x)) |
|
C = mA(x) Ú mB(x) |
|
|
|
C = A Ù B à mc(x) = min(mA(x),
mB(x)) |
|
C = mA(x) Ù mB(x) |
|
Subconjunto |
|
Igualdade |
|
Complemento |
|
Complemento |
|
Relativo |
|
|
|
União |
|
|
|
|
|
Interseção |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = {a, b, c, d, e} |
|
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} |
|
B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e} |
|
|
|
C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e} |
|
D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e} |
|
|
|
|
|
|
Função Triangular |
|
|
|
|
|
Função Trapezoidal |
|
|
|
|
|
Função Gaussiana |
|
|
|
|
|
Função Sino Generalizada |
|
|
|
|
|
|
|
|
Comutatividade |
|
A Ú B = B Ú A |
|
A Ù B = B Ù A |
|
Idempotência |
|
A Ú A = A |
|
A Ù A = A |
|
Associatividade |
|
A Ú (B Ú C) = (A Ú B) Ú C = A Ú B Ú C |
|
A Ù (B Ù C) = (A Ù B) Ù C = A Ù B Ù C |
|
Distributividade |
|
A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C) |
|
A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C) |
|
|
|
|
|
|
A Ú Ø = A A Ú X = X |
|
A Ù Ø = Ø A Ù X = A |
|
|
|
A Ì A Ú B |
|
A É A Ù B |
|
A Ù B Ì A Ú B |
|
|
|
Se A Ì B então |
|
B = A Ú B |
|
A = A Ù B |
|
|
|
Se A Ì B e B Ì C então |
|
A Ì C |
|
|
|
|
|
Negação Dupla |
|
ù ( ùA) = A |
|
|
|
Lei de Morgan |
|
ù (A
Ú B) = ù A Ù ù B |
|
ù (A
Ù B) = ù A Ú ù B |
|
|
|
ù f = X |
|
ù X
= f |
|
|
|
Se A Ì B então ù A É ù B e A - B = f |
|
A - A = f |
|
f -
A = f |
|
|
|
A - f = A |
|
|
|
Uma característica significante que
distingue os conjuntos difusos dos conjuntos clássicos é: |
|
ù A Ù A ¹ f |
|
ù A Ú A ¹ X |
|
|
|
|
|
Etapa na qual os valores numéricos são
transformados em graus de pertinência para um valor lingüístico. |
|
Cada valor de entrada terá um grau de
pertinência em cada um dos conjuntos difusos. O tipo e a quantidade de
funções de pertinência usados em um sistema dependem de alguns fatores tais
como: precisão, estabilidade, facilidade de implementação... |
|
|
|
|
|
Descrição das situações nas quais há reações
através de regras de produção (If - then). Cada regra na saída especifica
uma ou várias conclusões. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cada antecedente (lado if) tem um grau de
pertinência. A ação da regra (lado then) representa a saída difusa da
regra. Durante a avaliação das regras, a intensidade da saída é calculada
com base nos valores dos antecedentes e então indicadas pelas saídas
difusas da regra. |
|
Alguns métodos de avaliação: |
|
MinMax, MaxMin, MaxProduto, MinMin, MaxMedia,
MaxMax e Soma dos produtos. |
|
|
|
|
|
São as técnicas utilizadas na obtenção de um
conjunto difuso de saída “x” a partir da inferência nas regras. |
|
Determinam quanto a condição de cada regra será
satisfeita. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Processo utilizado para converter o conjunto
difuso de saída em um valor crisp correspondente. |
|
Alguns métodos de defuzzificação: |
|
Centróide, |
|
Média dos máximos, |
|
Distância de Hamming, |
|
Barras verticais, |
|
Método da altura, etc. |
|