Anotações
Estrutura de tópicos
Lógica Difusa
Milena Tápia
milena@inf.ufsc.br
Conceito
Lógica difusa é uma lógica multivalorada capaz de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores de hoje em dia.
A representação depende não apenas do conceito, mas também do contexto em que está sendo usada.
A lógica difusa pode ainda ser definida como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos acostumados a trabalhar.
Histórico
A Lógica Difusa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria probabilística, IA e RNA para poder representar o pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática.
Objetivo
A lógica difusa objetiva fazer com que as decisões tomadas pela máquina se aproximem cada vez mais das decisões humanas, principalmente ao trabalhar com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc. Antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas.
A lógica difusa vem sendo aplicada nas seguintes áreas: Análise de dados, Construção de sistemas especialistas, Controle e otimização, Reconhecimento de padrões, etc.
Características
Baseia-se em palavras e não em números, ou seja, os valores verdades são expressos lingüísticamente. Por exemplo: baixo, médio, alto, e outros usados para definir estados de uma variável.
Possui vários modificadores de predicado como por exemplo: muito, mais ou menos, pouco, bastante, médio, etc;
Características
Possui também um amplo conjunto de quantificadores, como por exemplo: poucos, vários, em torno de, usualmente;
Faz usos das probabilidades lingüísticas, como por exemplo: provável, improvável, que são interpretados como números fuzzy e manipulados pela sua aritmética;
Manuseia todos os valores entre 0 e 1, tomando estes, como um limite apenas.
Conjuntos Difusos
Conjuntos com limites imprecisos.
Conjuntos Difusos
Definição formal:
Um conjunto difuso A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:
Conjuntos Difusos
Um conjunto difuso A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma função de pertinência mA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
mA:Xà[0,1]
Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x pertencente a X um número real mA(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de possibilidade de que o elemento x venha a pertencer ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.
Função de Pertinência
Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto difuso.
Características das funções de pertinência:
Medidas subjetivas;
Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes, decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
Universo Discreto
X = {SF, Boston, LA} (discreto e não ordenado)
C = “Cidade desejável para se viver”
C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto)
A = “Número de filhos”
A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}
Universo Contínuo
X = (Conjunto de números reais positivos) (contínuo)
B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos”
B = {(x, mB(x) )| x em X}
Notação Alternativa
Um conjunto difuso A, pode alternativamente ser denotado por:
x (discreto)
x (contínuo)
Obs.: Os símbolos S e    representam o conjunto dos pares ordenados (x, mA(x)).
Variáveis Lingüísticas
Uma variável numérica possui valores numéricos:
Idade = 65
Uma variável lingüística possui valores que não são números, e sim, palavras ou frases na linguagem natural.
Idade = idoso
Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy.
Todos os valores lingüísticos formam um conjunto de termos:
T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,...
   Maduro, não maduro,...
   Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,...
   Não muito jovem e não muito velho,...}
Partição Difusa
Partição difusa da variável lingüistica “Idade”, formada pelos valores lingüisticos “jovem”, “maduro” e “idoso”.
Mais definições
mA(x) = 1
Height(A) = Maxx mA(x)
Supp(A) = {x| mA(x) > 0 e x    X}
Core(A) = {x| mA(x) = 1 e x    X}
Crossover(A) = {x| mA(x) = 0.5}
Aa = {x| mA(x) ³ a, x    X}
Aa+ = {x| mA(x) > a, x    X}
Normalidade
Altura
Suporte
Núcleo
Pontos de Cruzamento
a-cut
strong a-cut
Terminologia
Mais definições
Ø
Open left or right,
    closed
Conjunto nulo
Força
Convexidade
Simetria
Exemplo:
X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} (normal)
B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e} (subnormal)
Height(A) = 1 e Height(B) = 0.9
Supp(A) = {a, b, c, d} e Supp(B) = {a, b, c, d, e}
Core(A) = {a} e Core(B) = Ø
Exemplo (a-cut)
A = {0.3/a, 1/b, 0.5/c, 0.9/d, 1/e}
para 0.3 ³ a ³ 0  Aa = {a, b, c, d, e}
para 0.5 ³ a > 0.3 Aa = {b, c, d, e}
para 0.9 ³ a > 0.5 Aa = {b, d, e}
Operações Básicas
A Ì B, se mB(x) ³ mA(x) para cada x    X
A = B, se mA(x) = mB(x) para cada x    X
ù A = X - A à mùA(x) = 1 - mA(x)
mE(x) = Max [0, mA(x) - mB(x)]
C = A È B à mc(x) = max(mA(x), mB(x))
C = mA(x) Ú mB(x)
C = A Ù B à mc(x) = min(mA(x), mB(x))
C = mA(x) Ù mB(x)
Subconjunto
Igualdade
Complemento
Complemento
    Relativo
União
Interseção
Representação
Exemplo (União|Interseção)
X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}
B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
Formulação da MF
Função Triangular
Função Trapezoidal
Função Gaussiana
Função Sino Generalizada
Formulação da MF
Propriedades (Interseção|União)
Comutatividade
A Ú B = B Ú A
A Ù B = B Ù A
Idempotência
A Ú A = A
A Ù A = A
Associatividade
A Ú (B Ú C) = (A Ú B) Ú C = A Ú B Ú C
A Ù (B Ù C) = (A Ù B) Ù C = A Ù B Ù C
Distributividade
A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C)
A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C)
Propriedades (Interseção|União)
A Ú Ø = A A Ú X = X
A Ù Ø = Ø A Ù X = A
A Ì A Ú B
A É A Ù B
A Ù B Ì A Ú B
Se A Ì B então
B = A Ú B
A = A Ù B
Se A Ì B e B Ì C então
A Ì C
Propriedades (Comp.|Comp. Relativo)
Negação Dupla
ù ( ùA) = A
Lei de Morgan
ù (A Ú B) = ù A Ù ù B
ù (A Ù B) = ù A Ú ù B
ù f = X
ù X = f
Se A Ì B então ù A É ù B  e A - B = f
A - A = f
f - A = f
A - f  = A
Uma característica significante que distingue os conjuntos difusos dos conjuntos clássicos é:
ù A Ù A ¹ f
ù A Ú A ¹ X
Sistemas Difusos
Fuzzificação
Etapa na qual os valores numéricos são transformados em graus de pertinência para um valor lingüístico.
Cada valor de entrada terá um grau de pertinência em cada um dos conjuntos difusos. O tipo e a quantidade de funções de pertinência usados em um sistema dependem de alguns fatores tais como: precisão, estabilidade, facilidade de implementação...
Determinação das regras
Descrição das situações nas quais há reações através de regras de produção (If - then). Cada regra na saída especifica uma ou várias conclusões.
Regras If - then
Sistema de inferência
Avaliação das regras
Cada antecedente (lado if) tem um grau de pertinência. A ação da regra (lado then) representa a saída difusa da regra. Durante a avaliação das regras, a intensidade da saída é calculada com base nos valores dos antecedentes e então indicadas pelas saídas difusas da regra.
Alguns métodos de avaliação:
MinMax, MaxMin, MaxProduto, MinMin, MaxMedia, MaxMax e Soma dos produtos.
Agregação das Regras
São as técnicas utilizadas na obtenção de um conjunto difuso de saída “x” a partir da inferência nas regras.
Determinam quanto a condição de cada regra será satisfeita.
Defuzzificação
Processo utilizado para converter o conjunto difuso de saída em um valor crisp correspondente.
Alguns métodos de defuzzificação:
Centróide,
Média dos máximos,
Distância de Hamming,
Barras verticais,
Método da altura, etc.